Основные законы и формулы

· Средняя путевая скорость и среднее ускорение

;

где D S - путь, пройденный точкой за интервал времени D t.

Путь D S в отличие от разности координат D x = x₂ – x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. D S ³0.

· Мгновенная скорость и мгновенное ускорение

или ;

· Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения

; ,

где R – радиус кривизны траектории.

· Полное ускорение

;

· Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси X

где х_о – начальная координата движущейся точки в момент времени t = 0;

_ox – проекция скорости точки на ось Х в этот момент

времени;

a_x – проекция мгновенного ускорения на ось Х.

· Скорость и путь равнопеременного поступательного движения

· Угловая скорость и угловое ускорение

; .

· Кинематические уравнения равнопеременного вращательного движения

· Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении: длина дуги, пройденная точкой

где j – угол поворота тела,

R – радиус вращения точки;

; ; .

· Импульс (количество движения) материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

· Основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона)

· Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

где k – коэффициент упругости;

x – абсолютная деформация;

б) сила трения скольжения

где f – коэффициент трения;

N – сила нормального давления;

в) сила гравитационного взаимодействия (сила тяготения)

где g – гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила, действующая на тело, движущееся по дуге окружности радиуса R

· Закон сохранения импульса (количества движения) для замкнутой (изолированной) системы

или для двух тел (i = 2):

где и – скорости тел в начальный момент времени (до взаимодействия);

и – скорости тех же тел после их взаимодействия.

· Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

, или .

· Потенциальная энергия:

а) упругодеформированного тела

где k – коэффициент упругости (жесткость) тела;

x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия тел

;

в) тела, поднятого над поверхностью Земли

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R_З, где R_З – радиус Земли).

· Закон сохранения полной механической энергии (для замкнутой системы)

Е = Т+П = const.

· Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы (тела): A = D Е = Е₂ - Е₁

· Работа:

а) постоянной силы F:

где a - угол между направлениями силы и перемещения ;

б) переменной силы F:

где a и b – координаты начальной и конечной точек пути;

в) упругой силы

· Мощность:

а) средняя за время D t

;

б) мгновенная

, или .

· Напряженность гравитационного поля Земли

, или ,

где М_З – масса Земли;

R_З – радиус Земли;

h – высота над поверхностью Земли.

· Потенциал гравитационного поля Земли

, или .

· Момент инерции материальной точки

где r – радиус (расстояние от точки до оси вращения).

· Момент инерции системы (тела)

, или ,

где dm – элементарная масса тела;

dV – элементарный объем тела;

r – плотность вещества тела.

· Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс (центр симметрии):

а) полого (тонкостенного) и сплошного цилиндров (или диска) радиуса R

; ;

б) шара радиуса R

;

в) тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню

;

то же, но ось вращения проходит через один из концов стержня

;

г) тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера)

где I₀ – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр инерции;

a – расстояние между параллельными осями.

· Момент силы относительно неподвижной оси вращения

, или M = F× d,

где – радиус-вектор;

d – плечо силы F.

· Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки

, или .

· Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

, или .

· Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z

L_z = I_z w, или ,

где w - угловая скорость тела.

· Закон сохранения момента импульса (количества движения) для изолированной системы

где I_i – момент инерции тел относительно оси Z _i;

w _i – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси Z.

· Кинетическая энергия вращающегося тела относительно неподвижной оси

, или .

· Работа при вращательном движении

dA = M×dj,

где dj – угол поворота тела.

· Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;

А – амплитуда колебаний;

w – круговая или циклическая частота;

j₀ – начальная фаза колебаний;

t – время.

где Т – период колебаний точки;

v – частота колебаний.

· Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

– A wsin(w t + j₀);

– A w²cos(w t + j₀) = –w² x.

· Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание (возвращающая сила)

где (m – масса точки), .

· Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки:

· Полная энергия колеблющейся точки

Е = Т+П = .

· Период собственных колебаний:

а) математического маятника

где l – длина маятника;

g – ускорение свободного падения;

б) пружинного маятника

где m – масса колеблющегося тела;

k – жесткость пружины;

в) физического маятника

где I – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;

а – расстояние до центра тяжести маятника от оси колебаний;

– приведенная длина физического маятника.

· Уравнение затухающих колебаний (в среде, где сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости)

x = A_oe ^- ^d ^tsin(w t+j₁) или x = A_oe ^- ^d ^tcos(w t + j₂),

где А – амплитуда в момент времени t = 0;

е – основание натурального логарифма;

d – коэффициент затухания.

· Логарифмический декремент затухания

где А_i и А_i+1 – амплитуды двух последовательных колебаний.

· Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковой частотой (периодом), но разными амплитудами и начальными фазами:

Результирующее колебание выражается уравнением

где – амплитуда результирующего колебания;

– его начальная фаза.

· Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода, но разных амплитуд и начальных фаз.

, .

Траектория результирующего колебания задается уравнением:

В зависимости от разности фаз и амплитуд это будет либо прямая, либо эллипс, либо окружность.

· Длина волны

где Т – период колебания;

– скорость распространения волны;

v – частота колебаний.

· Уравнение плоской бегущей волны:

y = A cosw(t – ) = A cos(w t – kx),

где y – смещение любой из точек среды с координатой x (от источника колебаний) в момент времени t (рисунок 1);

– скорость распространения колебаний в среде;

– волновое число;

l – длина волны.

Рисунок 1

Рисунок 2

· Разность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на расстояниях х₁ и х₂ от источника колебаний

· При падении плоской волны на границу раздела двух сред возникает отраженная волна, которая, складываясь с падающей волной, образует стоячую волну.

· Уравнение стоячей волны

y = 2A cos kx sin w t,

где A(x) = 2A cos kx – амплитуда стоячей волны.

· Амплитуда стоячей волны максимальна в точках, удовлетворяющих условию и называемых пучностями стоячей волны. Здесь n = 0,1,2,3… (рис. 2; точки А, С, Е,…).