Часть 2. Приближённое решение задачи Коши

методом Рунге Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом Рунге Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге Кутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

(1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод Рунге Кутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида