Видоизмененный метод Ньютона

Если производная f '(x) мало изменяется на отрезке [a,b], то в расчетной формуле метода можно положить:

f '(x_n)» f '(x₀).

Отсюда для корня x уравнения f(x) = 0 получаем последовательные приближения

, (n = 0, 1, 2, …)

Геометрически этот способ означает, что касательные заменяются прямыми, параллельными касательной к кривой y = f(x), в ее фиксированной точке x₀. Этот способ избавляет от необходимости вычислять каждый раз значения производной, поэтому эта формула полезна, если f '(x) сложна.

Если есть время, то дать метод секущих с самостоятельным выводом формулы относительно точек x_i-1, x_i и x_i+1. Показать, что одним из вариантов метода секущих является нижеприведенный метод.

Для сложных функций вычисление производных может представлять значительные трудности. В этом случае вместо производной в итерационную формулу можно подставить ее конечно-разностное значение:

и тогда можно записать

Для использования этой формулы необходимо выбрать две начальные точки - х₀ и х₁. Эта формула объединяет достоинства метода секущих и касательных, так как в этом случае приближение к корню происходит с двух сторон.

Провести графическое сравнение метода касательных, хорд и секущих и показать, что в принципе это один и тот же метод - вся разница только в способе вычисления производной: при аналитическом вычислении получаем метод касательных, если производная считается на всем интервале - метод хорд и, наконец, если используется конечно-разностное соотношение - то метод секущих..