Достаточные условия оптимальности

Если функции f, j₁, j₂,..., j _m дважды дифференцируемы в допустимой точке x * Î Rⁿ (удовлетворяющей системе (1.10)) и при некотором y* выполняются условия (1.12), а также условия

()>0 или ()<0

(1.13)

при всех ненулевых hÎ Rⁿ, удовлетворяющих условиям

, ,

(1.14)

то x * – строгий локальный минимум (максимум) задачи (1.9), (1.10).

В условиях (1.13)

(1.15)

– матрица вторых производных функции Лагранжа по координатам вектора х.

1. Анализ равновесных режимов в нелинейных системах по дифференциальным уравнениям и структурным схемам

Равновесные режимы
Режим функционирования системы управления называется равновесным, если ее переменные не изменяются во времени. Для большинства систем управления промышленными и другими объектами равновесные режимы при постоянных внешних воздействиях являются, как правило, оптимальными в смысле принятых технологических критериев. Поэтому анализ и синтез систем по требованиям к этим режимам оказываются первоочередными задачами проектирования.В равновесных режимах производные по времени равны нулю для всех переменных. Если, например, зависимость между переменными входа f (t) и выхода y (t) системы управления описывается дифференциальным уравнением

, (10.1)

то частная модель для равновесных режимов (f = const, y = const) получится приравниванием нулю производных

. (10.2)

Из этой неявной зависимости численным методом находят значения y при заданных значениях f (если решение существует).

Для линейных систем определение единственного положения равновесия при заданных воздействиях или определение коэффициента усиления сводится к решению систем линейных уравнений. Можно ту же задачу решить, получив передаточную функцию системы и найдя искомый коэффициент усиления как частный случай

.

В случае нелинейных моделей, задача анализа равновесных режимов сложнее, так как связана с решением систем нелинейных уравнений. Прежде всего следует ответить на вопрос о существовании решения; далее должно определиться число положений равновесия, после чего уточняются их координаты. Для решения этих задач привлекаются частные модели, по которым аналитически, графическими построениями или/и численными процедурами находятся искомые режимы и статические характеристики нелинейных систем.