Математическая формулировка задачи целочисленного программирования. Классификация задач целочисленного программирования. Классификация методов решения задач целочисленного программирования. Метод отсечения в линейной задаче целочисленного программирования. Использование метода динамического программирования в задаче целочисленного программирования. Метод ветвей и границ в задачах целочисленного программирования.
2. Примерный перечень контрольных вопросов и заданий
для самостоятельной работы
1. Сделать два шага в итерационном методе Ньютона поиска нуля функции f(x) = x3-2x-4.
В качестве начального приближения взять x0 = 1.
2. Найти минимальное значение функции двух переменных
f(x,y) = x2-2x+y2-2y+6. При каких значениях переменных оно достигается?
3. Сделать один шаг в итерационном методе секущих поиска нуля функции f(x) = x3-2x-4.
В качестве начального приближения взять x0 = 1, x1 = 3.
4. Решите следующую задачу линейного программирования найти максимальное значение величины z=x+y→max при заданных ограничениях: x+2y≤5; 3x+y≤8; x,y≥0.
5. Решите следующую задачу линейного программирования: найти минимальное значение величины z = x+y→min x-y≥3; 3x-y≤-3; x,y≤0.
6. Найти условный экстремум функции F(x,y)=xy при условии x+y = 1, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
7. Найти условный экстремум функции F(x,y) = xy+x при условии x-2y = 1, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
8. Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)] = ∫(xy′+(y′)2)dx.
9. Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)] = ∫(1+(y′)2)dx.
10. Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)] = ∫((y′)2+2yy′)dx.
11. Записать первые 5 чисел ряда Фибоначчи.
12. Сделать два шага в итерационном методе Ньютона поиска нуля функции f(x) = 3x3-x-2.
В качестве начального приближения взять x0 = 0.
13. Известно, что уравнение Эйлера для некоторого функционала имеет вид:
y′′ = 0; y(0) = 0, y(1) = 1. Найти уравнение экстремали.
14. Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y) = xy+y2-x2+y
15. Исследовать функцию f(x) = 2x2-2xy+y2-2x+2 на безусловный экстремум
16. Используя графический метод, найти минимум функции F = 4x+3y при ограничениях: 4x+y-3≥0; x+5y-15≥0; x,y≥0.
17. Используя симплекс-метод, найти минимум функции F=2x+3y при ограничениях:
4x+y-2≥0; x+2y-4≥0; x,y≥0.
18. Используя графический метод, найти минимум функции F=x+3y при ограничениях:
x-2≤0; y-2≤0; x,y≥0.
19. Используя графический метод, найти максимум функции F=x+2y при ограничениях:
y-2≤0; 5x-y≤8; x,y≥0.
20. В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия: x+y≥2; x,y≥0.
21. В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия: y-x≤2; y ≥0; x≤0.
22. Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)] = ∫x(y′)2dx.
23. Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)] = ∫yy′dx.
24. Прибыль фирмы F менялась в зависимости от года-x и от номера месяца в году следующим образом F(x,у) = 50-x2+10x-y2+10y.
Определить, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной.
25. Фирма выпускает два вида товаров а и б. Цена товара а - 2$ за штуку и цена товара
б - 1$ за штуку. Какое количество товара а (х) и товара б (y) надо выпускать ежедневно, чтобы выручка была максимальной. При этом надо учитывать, что за день может быть произведено не более 10 штук товара б (y≤10) и количество y не менее чем на 3 должно превышать количество х [(y-x)≥3]. Определить величину максимальной ежедневной выручки.
26. Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$ и y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной? При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более
10 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤10 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более, чем на 2 т.е. (y-x) ≤2. Определите, какова величина максимальной прибыли.
27. Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$ и y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более
9 автомобилей обоих видов, т.е. (x+y) ≤9 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем в 2 раза т.е. y ≤2x. Определите, какова величина максимальной прибыли.
28. Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y) = 2xy+y2-x2+2x.
29. Сделать один шаг в итерационном методе секущих поиска нуля функции f(x) = 3x3-x-2.
В качестве начального приближения взять x0 = 0, x1 = 2.
30. В плоскости (x,y) указать область, определяемую неравенствами: (x2+y2) ≤1; (x-y) ≤0.
31. Найти условный экстремум функции F(x,y) = x2 +y2 при условии y = x+1, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
32. Найти условный экстремум функции F(x,y) = x2 +2y2 при условии y = x+1, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
33. Найти условный экстремум функции F(x,y) = x2+y2+x при условии y = x+1, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.