Задача оптимального использования ресурсов

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ. ПРИМЕРЫ ЗАДА Ч ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).

Рассмотрим несколько примеров задач линейного программирования (ЗЛП).

Задача о размещении средств

Пусть собственные средства банка вместе с депозитами в сумме составляют 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково:

ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Цель банка состоит в том чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг: f(x)=C₁X₁+C₂X₂, где С₁ - доходность кредитов, С₂ - доходность ценных бумаг.

Обозначим через Х₁ средства (млн долл.), размещенные в кредитах, через X₂ - средства, вложенные в ценные бумаги.

Если, например доходность кредитов составляет 20%, а ценных бумаг 35%, тогда Целевая функция (это выражение, которое необходимо максимизировать) будет выглядеть: f(x)=1,2₁X₁+1,35₂X₂

Имеем следующую систему линейных ограничений:

1. X₁+X2≤100 - балансовое ограничение;

2. X₁ ≥35 - кредитное ограничение;

3. Х₂≥ 0,3(Х₁+ Х₂) - ликвидное ограничение;

4. X₁ ≥ 0, Х₂ ≥ 0.

Задача оптимального использования ресурсов

Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, например, ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудование - имеются в количестве соответственно 80 (чел./дней), 480 (кг) и 130 (станко/ч). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в таблице.