Построение эпюр

Реакции опор

Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
∑ M^B = - R_A (L - L ₂) + ∑ q_i (b_i - a_i)(2 L - 2 L ₂ - a_i - b_i)/2 + ∑ F_i (L - L ₂ - c_i) - ∑ M_i =
= - R_A (L - L ₂) + q ₁(b ₁ - a ₁)(2 L - 2 L ₂ - a ₁ - b ₁)/2 + F ₁(L - L ₂ - c ₁) - M ₁ = - R_A ·(2.2 - 1.2) + 3·(1.2 - 0)·(2·2.2 - 2·1.2 - 0 - 1.2)/2 + 3·(2.2 - 1.2 - 2.2) + 6 =
= - R_A ·1 + 3·1.2·0.4 - 3·1.2 + 6 =
= - R_A ·1 + 3.84 = 0 ⇒
⇒ R_A = 3.84/1 = 3.84  кН;

Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
∑ M^A = R_B (L - L ₂) - ∑ q_i (b_i - a_i)(a_i + b_i)/2 - ∑ F_ic_i - ∑ M_i =
= R_B (L - L ₂) - q ₁(b ₁ - a ₁)(a ₁ + b ₁)/2 - F ₁ c₁ - M ₁ = R_B ·(2.2 - 1.2) - 3·(1.2 - 0)·(0 + 1.2)/2 - 3·2.2 + 6 =
= R_B ·1 - 3·1.2·0.6 - 3·2.2 + 6 =
= R_B ·1 - 2.76 = 0 ⇒
⇒ R_B = 2.76/1 = 2.76  кН;

Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
∑ Y = R_A + R_B - ∑ q_i (b_i - a_i) - ∑ F_i =
= R_A + R_B - q ₁(b ₁ - a ₁) - F ₁ =
= 3.84 + 2.76 - 3·(1.2 - 0) - 3 =
= 3.84 + 2.76 - 3.6 - 3 = 0;

Методика построения эпюр

Начальные параметры

Прогиб над левой опорой равен нулю: w ₀ = 0.

Угол поворота начального сечения θ ₀ определим из условия нулевого прогиба над опорой B:
EIw_B = EIw (L - L ₂) = EIθ ₀(L - L ₂) + R_A (L - L ₂)³/6 - q ₁(L - L ₂ - a ₁)⁴/24 =
= EIθ ₀·(2.2 - 1.2) + 3.84·(2.2 - 1.2)³/6 - 3·(2.2 - 1.2 - 0)⁴/24 =
= EIθ ₀·1 + 0.515 = 0 ⇒
⇒ EIθ ₀ = -0.515/1 = -0.515  кНм ²;

Построение эпюр

Составим аналитические выражения Q (z), M (z), EIθ (z) и EIw (z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

Участок I (0 ≤ z ≤ 1):

Поперечная сила Q: Q I(z) = RA - q 1(z - a 1) = 3.84 - 3(z - 0) = = -3 z + 3.84; Значения Q на краях отрезка: Q I(0) = -3·0 + 3.84 = 3.84  кН; Q I(1) = -3·1 + 3.84 = 0.84  кН; Изгибающий момент M: M I(z) = RA z - q 1(z - a 1)2/2 = 3.84 z - 3(z - 0)2/2 = 3.84 z - 3 z 2/2 = = -1.5 z 2 + 3.84 z; Значения M на краях отрезка: M I(0) = -1.5·02 + 3.84·0 = 0; M I(1) = -1.5·12 + 3.84·1 = 2.34  кНм; Угол поворота сечения θ: EIθ I(z) = EIθ 0 + RA z 2/2 - q 1(z - a 1)3/6 = -0.515 + 3.84 z 2/2 - 3(z - 0)3/6 = = -0.5 z 3 + 1.92 z 2 - 0.515; Значения EIθ на краях отрезка: EIθ I(0) = -0.5·03 + 1.92·02 - 0.515 = -0.515  кНм 2; EIθ I(1) = -0.5·13 + 1.92·12 - 0.515 = 0.905  кНм 2; На этом участке эпюра θ пересекает горизонтальную ось. Найдем точку пересечения: EIθ I(z) = -0.5 z 3 + 1.92 z 2 - 0.515 = 0; Корни кубического уравнения найдем по тригонометрической формуле Виета.  Приведем уравнение к виду  z 3 + az 2 + bz + c = 0, для чего разделим его на -0.5: z 3 - 3.84 z 2 + 1.03 = 0; a = -3.84; b = 0; c = 1.03; Вычисляем  Q, R и S: Q = (a 2 - 3 b)/9 = 1.6384; R = (2 a 3 - 9 ab + 27 c)/54 = -1.58215; S = Q 3 - R 2 = 1.89484; S > 0 ⇒ уравнение имеет три корня: φ = arccos(R / Q 1.5)/3 = 0.808527  рад; z = -2 Q ½cos(φ) - a /3 = -0.487846; z = -2 Q ½cos(φ + 2 π /3) - a /3 = 3.76743; z = -2 Q ½cos(φ - 2 π /3) - a /3 = 0.560414; Корни -0.487846 и 3.76743 не лежат внутри рассматриваемого участка.  z 1 = 0.560414  м; Прогиб w: EIw I(z) = EIθ 0 z + RA z 3/6 - q 1(z - a 1)4/24 = -0.515 z + 3.84 z 3/6 - 3(z - 0)4/24 = -0.515 z + 0.64 z 3 - 3 z 4/24 = = - 0.125 z 4 + 0.64 z 3 - 0.515 z; Значения EIw на краях отрезка: EIw I(0) = - 0.125·04 + 0.64·03 - 0.515·0 = 0; EIw I(1) = - 0.125·14 + 0.64·13 - 0.515·1 = 0; Локальный экстремум в точке z 1 = 0.560414  м: EIw I(0.560414) = - 0.125·0.5604144 + 0.64·0.5604143 - 0.515·0.560414 = -0.188299  кНм 3;

Участок II (1 ≤ z ≤ 1.2):

Поперечная сила Q: Q II(z) = RA + RB - q 1(z - a 1) = 3.84 + 2.76 - 3(z - 0) = = -3 z + 6.6; Значения Q на краях отрезка: Q II(1) = -3·1 + 6.6 = 3.6  кН; Q II(1.2) = -3·1.2 + 6.6 = 3  кН; Изгибающий момент M: M II(z) = RA z + RB (z - L + L 2) - q 1(z - a 1)2/2 = 3.84 z + 2.76(z - 2.2 + 1.2) - 3(z - 0)2/2 = 3.84 z + 2.76(z - 1) - 3 z 2/2 = = -1.5 z 2 + 6.6 z - 2.76; Значения M на краях отрезка: M II(1) = -1.5·12 + 6.6·1 - 2.76 = 2.34  кНм; M II(1.2) = -1.5·1.22 + 6.6·1.2 - 2.76 = 3  кНм; Угол поворота сечения θ: EIθ II(z) = EIθ 0 + RA z 2/2 + RB (z - L + L 2)2/2 - q 1(z - a 1)3/6 = -0.515 + 3.84 z 2/2 + 2.76(z - 2.2 + 1.2)2/2 - 3(z - 0)3/6 = -0.515 + 1.92 z 2 + 2.76(z 2/2 - 1 z + 0.5) - 3 z 3/6 = = -0.5 z 3 + 3.3 z 2 - 2.76 z + 0.865; Значения EIθ на краях отрезка: EIθ II(1) = -0.5·13 + 3.3·12 - 2.76·1 + 0.865 = 0.905  кНм 2; EIθ II(1.2) = -0.5·1.23 + 3.3·1.22 - 2.76·1.2 + 0.865 = 1.441  кНм 2; Прогиб w: EIw II(z) = EIθ 0 z + RA z 3/6 + RB (z - L + L 2)3/6 - q 1(z - a 1)4/24 = -0.515 z + 3.84 z 3/6 + 2.76(z - 2.2 + 1.2)3/6 - 3(z - 0)4/24 = -0.515 z + 0.64 z 3 + 2.76(z 3/6 - 0.5 z 2 + 0.5 z - 0.166667) - 3 z 4/24 = = - 0.125 z 4 + 1.1 z 3 - 1.38 z 2 + 0.865 z - 0.46; Значения EIw на краях отрезка: EIw II(1) = - 0.125·14 + 1.1·13 - 1.38·12 + 0.865·1 - 0.46 = 0; EIw II(1.2) = - 0.125·1.24 + 1.1·1.23 - 1.38·1.22 + 0.865·1.2 - 0.46 = 0.2324  кНм 3;

Участок III (1.2 ≤ z ≤ 2.2):

Поперечная сила Q: Q III(z) = RA + RB - q 1(z - a 1) + q 1(z - b 1) = 3.84 + 2.76 - 3(z - 0) + 3(z - 1.2) = = 3; Значения Q на краях отрезка: Q III(1.2) = 3  кН; Q III(2.2) = 3  кН; Изгибающий момент M: M III(z) = RA z + RB (z - L + L 2) - q 1(z - a 1)2/2 + q 1(z - b 1)2/2 = 3.84 z + 2.76(z - 2.2 + 1.2) - 3(z - 0)2/2 + 3(z - 1.2)2/2 = 3.84 z + 2.76(z - 1) - 3 z 2/2 + 3(z 2/2 - 1.2 z + 0.72) = = 3 z - 0.6; Значения M на краях отрезка: M III(1.2) = 3·1.2 - 0.6 = 3  кНм; M III(2.2) = 3·2.2 - 0.6 = 6  кНм; Угол поворота сечения θ: EIθ III(z) = EIθ 0 + RA z 2/2 + RB (z - L + L 2)2/2 - q 1(z - a 1)3/6 + q 1(z - b 1)3/6 = -0.515 + 3.84 z 2/2 + 2.76(z - 2.2 + 1.2)2/2 - 3(z - 0)3/6 + 3(z - 1.2)3/6 = -0.515 + 1.92 z 2 + 2.76(z 2/2 - 1 z + 0.5) - 3 z 3/6 + 3(z 3/6 - 0.6 z 2+ 0.72 z - 0.288) = = 1.5 z 2 - 0.6 z + 0.001; Значения EIθ на краях отрезка: EIθ III(1.2) = 1.5·1.22 - 0.6·1.2 + 0.001 = 1.441  кНм 2; EIθ III(2.2) = 1.5·2.22 - 0.6·2.2 + 0.001 = 5.941  кНм 2; Прогиб w: EIw III(z) = EIθ 0 z + RA z 3/6 + RB (z - L + L 2)3/6 - q 1(z - a 1)4/24 + q 1(z - b 1)4/24 = -0.515 z + 3.84 z 3/6 + 2.76(z - 2.2 + 1.2)3/6 - 3(z - 0)4/24 + 3(z - 1.2)4/24 = -0.515 z + 0.64 z 3 + 2.76(z 3/6 - 0.5 z 2 + 0.5 z - 0.166667) - 3 z 4/24 + 3(z 4/24 - 0.2 z 3 + 0.36 z 2 - 0.288 z + 0.0864) = = 0.5 z 3 - 0.3 z 2 + 0.001 z - 0.2008; Значения EIw на краях отрезка: EIw III(1.2) = 0.5·1.23 - 0.3·1.22 + 0.001·1.2 - 0.2008 = 0.2324  кНм 3; EIw III(2.2) = 0.5·2.23 - 0.3·2.22 + 0.001·2.2 - 0.2008 = 3.6734  кНм 3;

Тип балки:
Двухопорная балка консоль справа

Размеры:
L = 2.2  м;
L ₂ = 1.2  м;

Нагрузки:
q ₁ = 3  кН/м, z ∈(0; 1.2);
F ₁ = 3  кН, z = 2.2  м;
M ₁ = -6  кНм, z = 2.2  м;

Реакции опор:
R_A = 3.84  кН;
R_B = 2.76  кН;

Внутренние усилия:
Q _max = 3.84  кН;
M _max = 6  кНм;

Перемещения:
θ _max = 5.941  кНм ² /EI;
w _max = 3.673  кНм ³ /EI;

Ответ

Реакции опор: RA = 3.84  кН; RB = 2.76  кН; Внутренние усилия: Q max = 3.84  кН; M max = 6  кНм; Перемещения: θ max = 5.941  кНм 2 /EI; w max = 3.673  кНм 3 /EI;

Дано

Тип балки: Двухопорная балка консоль справа Размеры: L = 2.2  м; L 2 = 1.2  м; Нагрузки: q 1 = 3  кН/м, z ∈(0; 1.2); F 1 = 3  кН, z = 2.2  м; M 1 = -6  кНм, z = 2.2  м;