Свойства криволинейного интеграла II-го рода

Пусть и .

(7)

СЛЕДСТВИЕ.

= , причем:

.

Доказательство:

Достаточно положить:

.

2. Криволинейный интеграл II-го рода меняет знак при изменении ориентации кривой.

(8)

Доказательство:

- единичный касательный вектор, соответствует ориентации дуги .

- единичный касательный вектор, соответствует ориентации дуги .

Очевидно = - .

(9)

Это равенство получается в силу независимости криволинейного интеграла I-го рода от ориентации дуги.

3. Пусть Г – замкнутая и существует , тогда интеграл II-го рода не зависит от выбора начальной точки.

Доказательство следует из независимости криволинейного интеграла I-го рода от выбора начальной точки и из связи криволинейного интеграла II-го рода с криволинейным интегралом I-го рода.

4. Пусть Г гладкая, - пунктированное разбиение Г точками и точками .

, тогда:

(10)

Доказательство вытекает из связи криволинейный интегралов I-го и II-го рода.

Аналогично:

ЗАМЕЧАНИЕ.

Все сказанное остается в силе, если , т.е. , . Если в предыдущих функциях , то получим .