Криволинейный интеграл II-го рода

Рассмотрим некоторую область точек трехмерного пространства или плоскости (двумерного пространства) .

Область называется скалярным полем, если каждая точка из этой области характеризуется определенным числом . Таким образом, становится скалярным полем, если задается числовая функция , для которой является областью определения.

Область называется векторным полем, если каждая ее точка характеризуется вектором , исходящим их этой точки.

Векторное поле будет задано, если задать векторную функцию с областью определения , .

Задание векторного поля равносильно заданию трех числовых функций (в выбранной системе координат OXYZ с базисом ), каждая из которых зависит от трех переменных:

Если - плоская область, то скалярное поле задается функцией , а векторное поле имеет вид:

- поле плоское.

В дальнейшем будем считать, что функции , а также непрерывны в и имеют в этой области непрерывные частные производные первого порядка.

Df.1 Пусть определена в , , . Совокупность векторной функции и области ее определения называется векторным полем. Т.е.:

Если считать, что - конец радиуса вектора , то можно обозначить .

Если или , то в координатной форме:

Df.2 Пусть простая ориентированная спрямляемая кривая; определена на - единичный вектор касательной к кривой . Криволинейным интегралом по дуге от векторной функции называется криволинейный интеграл I-го рода:

(1)

* Простая кривая называется спрямляемой, если существует предел длин ломанных, вписанных в кривую при (этот предел называется длиной кривой ). Аналогичные определения имеют место для пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями в координатном пространстве OXYZ.

Векторными линиями векторного поля называются такие линии, у которых касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля.

Пусть , а линия определена уравнением:

Тогда вектор:

является касательным к линии .

Если параллельно , то получим дифференциальное уравнение линии:

Векторное поле не только порождает семейство векторных линий, но и определяет на этих линиях направление.

Положительное направление вектора выбирается в соответствии с положительным направлением обхода кривой .

Пусть . - направляющие косинусы. - векторное поле в прямоугольной декартовой системе координат.

Тогда запись эквивалентная (1) имеет вид:

(2)

Отметим, что - функции параметра кривой . Рассмотрим:

= . Где - проекции вектора на оси координат, то интеграл можно записать в виде:

(3)

Последний интеграл (3) называют общим криволинейным интегралом II-го рода.

Его можно рассматривать как сумму трех интегралов:

(4)

Интегралы (4) также называют криволинейными интегралами II-го рода в отличие от криволинейных интегралов I-го рода.

Формула (3) дает практически связь криволинейного интеграла II-го рода с криволинейным интегралом I-го рода.

Df.3 Пусть - кусочно-гладкая кривая; определена на . Криволинейным от векторной функции называется:

Перейдем к условиям существования криволинейного интеграла от векторной функции, т.к. он сводится (также как и криволинейный интеграл II-го рода) к криволинейному интегралу I-го рода, то эти условия имеют аналогичный вид сформулированный ранее.

Th.1 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ).

Пусть существует и кусочно-гладкая - ограничена на (т.е. ограничены на ).

(Б/Д).

Th.2 Пусть , что (т.е. ), кусочно-гладкая .

Th.3 (СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА II-ГО РОДА К ОПРЕДЕЛЕННОМУ).

Пусть гладкая, , что , тогда:

+ .

Доказательство:

По введенным определениям:

, таким образом:

(6)

Существование интеграла следует из достаточных условий теоремы 2.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Для плоского векторного поля линейный интеграл .

Основное правило вычисления кратного интеграла сводится к следующему: чтобы вычислить кратный интеграл вдоль данной линии, его нужно преобразовать в определенный интеграл. Для этого все переменные под знаком интеграла следует выразить через одну переменную, используя уравнения той линии, вдоль которой ведется интегрирование.

Рассмотрим плоское поле .

а) Если .

●

То:

+ .

б) Если - гладкая, уравнение дуги имеет вид , то принимая x за параметр, получим:

тогда:

б’) Если гладкая, имеет вид , y изменяется на .

, y – параметр.

Тогда:

в) Если гладкая заданная системой уравнений:

т.е. определена, как пересечение двух цилиндрических поверхностей.

Тогда:

+ .

г) Если уравнение имеет более сложный вид:

то нужно заменить эту систему равносильной ей системой вида:

либо введя параметр , привести к виду:

Все указанные выше формулы верны в тех случаях, когда линия является гладкой. Если дуга - кусочно-гладкая или состоит из различных дуг (с различными уравнениями), то криволинейный интеграл по всему пути равен сумме интегралов по составляющим его дугам.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Сопоставляя определение криволинейного интеграла II-го рода с определением криволинейного интеграла I-го рода, при очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие:

1) в случае интеграла I-го рода при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой .

2) А в случае интеграла II-го рода это значение умножается на проекцию (или ) участка кривой на ось x (или на ось y).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

а) Общий криволинейный интеграл II-го рода физически представляет собой работу по перемещению материальной точки из A в В вдоль кривой Г под действием силы, имеющей составляющие .