F = не A
A | не А |
Логическое отрицание: ИНВЕРСИЯ -если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО
ОПЕРАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ
A | B | F |
F = A & B.
Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ – это выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.
ОПЕРАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ
A | B | F |
F = A + B
Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ – это выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ.
Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ – связывает два простых, второе (В) – следствием из этого условия. результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ …, ТО …
|
|
A | B | F |
ОПЕРАЦИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
F = A~B
A | B | F |
Логическая равнозначность: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ – определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом «эквивалентности» ~.
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:
1. инверсия.
2. конъюнкция.
3. дизъюнкция.
4. импликация.
5. эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.
Основные законы логики:
А = А – закон тождества.
А & = 0 – закон непротиворечия (закон выражает тот факт, что высказывание не может быть одновременно истинным и ложным).
A Ú = 1 – закон исключенного третьего (закон означает, что либо высказывание истинно, либо его отрицание должно быть истинным).
= А – закон двойного отрицания.
СВОЙСТВА КОНСТАНТ
= 1 = 0
А Ú 0 = А А & 0 = 0
А Ú 1 = 1 А & 1 = A
Законы идемпотентности:
А Ú А = А А & А = A
Законы коммутативности:
А Ú В = В Ú А А & В = В & А
Законы ассоциативности:
А Ú (В Ú С) = (АÚ В) Ú С
А & (В & С) = (А & В) & С
|
|
Законы дистрибутивности:
А Ú (В & С) = (АÚ В) & (А Ú С)
А & (В Ú С) = (А & В) Ú (А& С)
Законы поглощения:
А Ú (А & В) = А
А & (А Ú В) = А
Законы де Моргана:
В справедливости указанных законов можно убедиться с помощью таблиц истинности
Построение таблиц истинности для сложных выражений:
Рассчитаем количество строк и столбцов в таблице. Количество строк = 2n + две строки для заголовка (n – количество простых высказываний). Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций. При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 в исходных выражениях. Затем определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.
Пример. С оставить таблицу истинности сложного логического выражения D = не A & (B+C).
Решение. А, В, С - три простых высказывания, поэтому
количество строк = 23 +2 = 10 (n=3, так как на входе три элемента А, В, С)
количество столбцов =6:
1) А;
2) В;
3) С;
4) не A это инверсия А (обозначим Е);
5) B + C это операция дизъюнкции (обозначим F);
6) D = не A & (B+C), т.е. D = E & F это операция конъюнкции.
Таблица 4.2. Таблица истинности сложного логического выражения
А | В | С | E = не А(не 1) | F = В+С (2+3) | D = E&F(4*5) |
Условное обозначение базовых логических элементов компьютера
Логический элемент И конъюнктор
Логический элемент И
конъюнктор
Логический элемент ИЛИ
дизъюнктор
Логический элемент НЕ
Инвертор