Пограничный слой атмосферы. Модель Экмана - Аккерблома

Пограничный слой атмосферы - нижний слой атмосферы вертикальной продолжительностью от нуля до 1,5-2 км, в пределах которого турбулентный обмен развит даже внутри однорядных воздушных масс. В этом слое необходимо учитывать силу турбулентного трения. Рассмотрим модель стационарного горизонтального однородного пограничного слоя с априорио заданным профилем коэффициента турбулентности. Условия стационарности и горизонтальной однородности пограничного слоя позволяют считать, что составляющая скорости u и v в движущейся воздушной массе в единицу времени не изменяется, т. е. левые части первого и второго уравнения движения равны нулю.

Примем коэффициент турбулентности равным некоторому среднему для пограничного слоя значению. Запишем уравнения движения:

Учтём k =const:

-система уравнений Экмана-Акнерблома

Граничные условия:

z=0; u=0; v=0

; ;

Домножим (1) на и сложим с (2)

Перепишем граничные условия

Запишем характеристические уравнения

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид:

Определим произвольные постоянные из граничных условий

Направим ось x по геострофическому вектору, тогда

(4)

Годограф вектора, описываемый соотношениями (4) представляет собой логарифмическую спираль, которая называется спиралью Экмана. Проанализируем полученное решение.

1) Найдём высоту, на которой ветер впервые совпал по направлению с геострофическим.

2) Найдём высоту, где ветер впервые по модулю совпал с геострофическим. Будем исходить из того, что если совпадают модули, то совпадают и квадраты модулей.

Имеем трансцендентное уравнение

3) Найдём высоту,где модуль скорости ветра

впервые достигает максимума.

Для удобства снова будем рассматривать квадрат модуля.

Вспомним из прямоугольной тригонометрии формулу:

Снова имеем трансцендентное уравнение, решив которое приближенно получим высоту .

Получается, что ветер в пограничном слое сначала совпадает с геострофическим по модулю, а затем достигает максимального значения и, наконец, совпадает с геострофическим по направлению. Оценим высоту пограничного слоя, приняв за его границу высоту, где ветер впервые совпадает по направлению с геострофическим.