Интегральные соотношения пограничного слоя выводятся либо аналитически путем интегрирования системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, либо из физических соображений путем применения интегральных законов сохранения к жидкому элементу, принадлежащему пограничному слою.
Остановимся на первом подходе. Предварительно преобразуем первое уравнение системы (2.132) к виду, удобному для дальнейшего анализа.
С этой целью запишем сначала систему (2.132) в виде
;
,
а затем вычтем из второго уравнения первое. Тогда получим
. (2.133)
Умножим левую часть (2.133) на произведение , где F(u) — произвольная дифференцируемая функция, k=0, 1, 2 ..., и проинтегрируем полученное выражение по у в пределах пограничного слоя. Если рассматривается асимптотический пограничный слой, то интегрирование должно осуществляться от 0 до бесконечности. Если же рассматривается пограничный слой конечной толщины
, то интегрирование должно производиться от 0 до
. В дальнейшем верхние пределы интегралов будут обозначаться двояко, отражая то или иное понимание пограничного слоя.
Итак, получаем исходное интегральное соотношение
+
+
+
.
При получаем
+
+
+
(2.134)
Второй интеграл равен нулю. Введем обозначения интегральных характеристик пограничного слоя:
- толщина вытеснения; (2.135)
- толщина потери импульса. (2.136)
Толщина вытеснения характеризует отклонение линий тока от поверхности обтекаемого тела вследствие существования пограничного слоя. Наглядное представление об этом дает схема обтекания пластины (рис. 2.6).
![]() |
Рис.2.6 Пограничный слой
Расход жидкости через сечение АВ равен . В сечении А'В' скорости u(у) переменны. Они изменяются от нуля до
. Следовательно, расход жидкости через сечение А'В' меньше, чем через сечение АВ. Дополним профиль скорости до однородного, положив
. Тогда, приравняв расходы в сечении АВ и А'В", получаем очевидный вывод, что точка В", через которую проходит линия тока, должна быть смещена вверх на толщину вытеснения
*. Проведенное рассуждение подчеркивает также, что граница пограничного слоя не является линией тока.
Сходным образом можно интерпретировать и толщину потери импульса.
При использовании (2.135) и (2.136) интегральное соотношение импульсов приобретает вид
(2.137)
или
(2.138)
Обычно употребляются следующие параметры:
-местный коэффициент трения;
-формпараметр. Тогда уравнению (2.138) можно придать общеизвестный вид:
(2.139)
Целесообразность использования форм параметра H диктуется тем, что он изменяется незначительно, и в определенных случаях для получения приближенных решений допустимо считать его постоянным.
При F(u)=u, k=0 получим уравнение кинетической энергии, часто называемое просто уравнением энергии:
(2.140)
где δ***==- толщина потери энергии. Действуя аналогичным образом, можно получить другие формы интегральных соотношений.
Подчеркнем одно важное обстоятельство. Во всех выкладках фигурирует понятие напряжения трения безотносительно к виду течения: ламинарному или турбулентному. Следовательно, получаемые итоговые уравнения будут справедливы и для ламинарного и для турбулентного пограничного слоя.