Вычисление объема тела вращения

Теорема. Если f(x) 0 непрерывна на [a,b], то тело, полученное вращением графика функции вокруг оси x кубируемо и его объем равен

Доказательство. Для заданного  рассмотреть достаточное мелкое разбиение ={a=x0<x1<…<xn=b} и два ступенчатых тела на основании сумм Дарбу исходной функции, составленных из круговых цилиндров высотой xk+1 - xk и радиусов mk= , Mk= . Объем этих тел будут равны s(F,), S(F,), F(x)= f 2(x). Одна из этих кубируемых областей будет вписана в тело вращения, а другая описана. Разность объемов можно сделать сколь угодно малой, что следует из интегрируемости функции F(x).

Справедлива более общая теорема (без доказательства).

Теорема. Если область D проектируется на отрезок [a,b] оси x и любое сечение этой области плоскостью перпендикулярной оси x квадрируемо, а площадь этого сечения S(x) является интегрируемой функцией, то исходная область кубируема и ее объем равен

D=