Площадь плоской фигуры

Определённый интеграл как площадь фигуры

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале [ a, b ] и горизонтальной осью, может быть вычислена какопределённый интеграл от этой функции:

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале [ a, b ] находится как разность определённых интегралов от этих функций.

В полярных координатах: площадь, ограниченная функцией r = r (θ), вычисляется по формуле:

.

Вычисление объема тела по заданной площади поперечного сечения.

Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела.
Рассечём это тело плоскостями x = x₀ = a, x = x₁, x = x ₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x_n-1, x = x_n = b на n слоёв (a= x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на каждом из отрезков [x_i-1, x_i] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = x_i-1 и x = x_i приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому .