2015-08-12
445
Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой) 
(
- длина окружности кольца, 
- его ширина).
Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности 
вокруг оси Ox.
Решение: 
.
4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
4.1.Мнимая единица. Комплексное число. Комплексно сопряженные числа. Геометрическое представление комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами. Понятие о функции комплексного переменного. Формула Эйлера. Основная теорема алгебры.
Мнимая единица — комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.
В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до полякомплексных чисел. Точное определение зависит от способа этого расширения.
Основной причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x) = 0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Например, уравнение x2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней. Однако если предположить, что корнями являются комплексные числа, тогда это уравнение, как и любое другое полиномиальное уравнение, имеет решение.
|
|
|
Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1. Таким образом i — это решение уравнения
или
Если мы определим i таким образом и будем считать ее неизвестной («воображаемой», «мнимой») переменной, тогда вторым решением уравнения будет − i, что можно проверить подстановкой.
Ко́мпле́ксные чи́сла, — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается 
. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица[2].
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
Сопряжённые числа. Если комплексное число z = x + iy, то число 
называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z *). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
§ 
(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
|
|
|
§ 
§ 
§ 
§ 
Геометрическая модель
