Идеальные тона и отношения

Ниже мы будем пользоваться вводимым из формальных соображений понятием "идеальный тон", неизвестным музыкальной теории. Од­нако, фактически, говоря о ступенях до, ре, ми, фа и т.д. любой октавы, применяют именно это понятие. Наш термин просто придает количественный смысл обычным обозначениям положения тона в октаве. Например, если имеется тон 24, то, обратив его три раза, приходим к идеальному тону 3, которому могут соответствовать ре­альные тона 3,6,12,24,48,... Ряд 5,10,20,40,... имеет в своей основе идеальный тон 5, ряд 1,2,4,8,... – идеальный тон 1. Иными словами, идеальным тонам соответствуют нечетные числа, а реальный тон L _i

в какой-либо октаве выражается через идеальный тон L _i формулой:

L _i = L _i 2^k; гдеk= 1, 2, 3...

Простыми идеальными тонами мы будем называть простые нечет­ные числа, а прочие нечетные числа – произвольными идеальными тонами; отношения идеальных тонов – идеальными отношениями. Квинте и кварте, терции и сексте – вообще любой паре отношений, связанных операцией обращения, соответствует одно и то же идеаль­ное отношение. В ряду 1,2,3,4,5,6 наличествуют три идеальных тона 1,3 и 5 или – что то же – три простых идеальных отношения 1:3 – идеальная квинта, 1:5 – идеальная большая терция и 3:5 – идеаль­ная малая терция, а также принцип "обращения", удвоения, т.е. октава 1:2. Реальная квинта, большая и малая терции составляют аккорд-трезвучие – 4:5:6. Обращенное трезвучие может выглядеть как 3:4:5, соответствующее простое идеальное трезвучие – 1:3:5. Никаких других отношений более мы не будем вводить в систему произвольно. Это означает, что новые идеальные тона обязательно будут состоять с одним из тонов 1,3,5 или с введенными ранее произ­водными тонами в отношениях квинты, большой или малой терции.

4. Структура октавы

Октава (1 – 2) не содержит целых ступеней, октава (2 – 4) содержит тон 3 и отношения кварты и квинты, октава (3 – 6) – тона 4, 5 и отношения квинты, кварты, двух терций и большой сексты. Этого, очевидно, недостаточно для музыки. Нужно ввести дополнительные ступени, однако не за счет новых простых идеальных тонов, напри­мер, 7,11,13 и т.д., чтобы не вводить неизвестных практике отноше­ний и новых принципов. Можно вводить только производные идеаль­ные тона по общей формуле:

L_i=3^m5ⁿ где mи n= 0, 1, 2

Однако выбор тип должен быть обоснован. Обычно таким обос­нованием является простота.

Рассмотрим идеальное трезвучие, состоящее из квинты 1:3, боль­шой терции 1:5 и малой терции 3:5. Его можно составить двумя способами. Первый из них – взять три простых идеальных тона 1:3:5. Здесь тон 1 играет одну и ту же роль в отношениях 1:3 и 1:5, тон 3 – в отношениях 1:3 и 3:5. Второй способ состоит в подборе к тонам 3 и 5 такого третьего тона, с которым эти тона составляли бы отношения 1:5 и 1:3 соответственно. Это будет тон 15, входящий в квинту с тоном 5 (5:15=1:3) и в большую терцию с тоном 3 (3:15=1:5). Таким образом, три простых идеальных отношения, кроме трезвучия 1:3:5, образуют трезвучие 3:5:15, в котором каждый тон играет двоякую роль в отно­шениях. Первое трезвучие воспринимается как мажорное, второе – как минорное.

Новый идеальный тон 15 мы ввели, не привлекая нового идеаль­ного отношения, однако оно устанавливается между тоном 1 из ми­норного трезвучия и тоном 15 из мажорного. Тон 15 находится внутри октавы (8 – 16). Заметим здесь, что если исключить не относящийся к разрабатываемой системе тон 7, в октаве (4 – 8) содержатся лишь те же отношения, что и в октаве (3 – 6). В октава же (8 – 16), кроме простых идеальных тонов 1,3,5 и производного 15, содержится также производный и идеальный тон 9, который естественно теперь также включить в систему. Таким образом, в этой четвертой по порядку, если идти вниз от тона 1, октаве содержится всего пять идеальных тонов 1,3,5,9,15, которые состоят в следующих идеальных отноше­ниях: 1:3; 3:5; 1:5 (простые отношения) и 1:9, 5:9,1:15 (производные отношения). В реальной форме последние выглядят как 8:9 (большой тон), 9:10 (малый тон) и 15:16 (большой полутон).

Эти пять идеальных тонов определяют одно мажорное и два ми­норных трезвучия (1:3:5= 3:9:15), причем, последние смещены одно относительно другого на квинту. Роль квинт и терций – или, что то же, тонов 3 и 5 в музыке различна – квинты более существенны, что отражается возможностью из данных пяти тонов трех квинт 1:3, 3:9 и 5:15 и лишь двух больших (1:5 и 9:15) и двух малых (3:5 и 9:15) терций.

Октава (8 – 16) имеет следующую структуру: 8,9,10,12,15,16 или, в идеальной форме: 1,9,5,3,15,1, чему соответствует следующий порядок интервалов: большой тон, малый тон, малая терция, боль­шая терция, большой полутон. Такое деление октавы, опять-таки, не удовлетворяет требованиям современной музыки, так как интервалы в терцию очень велики. Для дальнейшего расчленения октавы на постулированных выше принципах можно построить еще по пять тонов от каждого из имеющихся пяти идеальных тонов, всякий раз принимая первый тон за единицу, а остальные сохраняя в тех же отношениях, то есть транспонировать пятизвучие на квинту, боль­шую терцию, большой тон и большой полутон. Это выглядит как простая операция умножения:

1 х (1,3,5,9,15) = 1,3,5,9,15

3х (1,3,5,9,15) = 3,9,15,27,45

5 х (1,3,5,9,15) = 5,15,25,45,75

9 х (1,3,5,9,15) = 9,27,45,81,135

15 х (1,3,5,9,15) = 15,45,75,135,225

Получается двенадцать идеальных тонов 1,3,5,9,15,25,27,45,75, 81,135,225. Величина последнего тона 225 указывает, что эти тона могут в своей совокупности реализоваться в октаве (128 – 256), восьмой по счету вниз от 1. Структура этой октавы такова:

128,135,144,150,160,162,180,192,200,216,225,240,256

или в идеальной форме:

1,135,9,75,5,81,45,3,25,27,225,15,1.

Из двенадцати интервалов между соседними ступенями этой ок­тавы только один (45:81 = 5:9, в реальной форме – 9:10) превышает полутон. Тона распределены равномерно, их количество в точности совпадает с числом ступеней в инструментах с фиксированным стро­ем, поэтому система, в принципе, может оказаться пригодной для музыки.