Задача о гармоническом осцилляторе

Гармонический осциллятор- частица, которая двигается по некоторой оси, и на которую действуют возвращающаяся сила, пропорциональна смещению частиц от начала координат.

-каппа

ž Потенциальная энергия описывается уравнением:

U -потенциальная энергия частицы m - масса или магнитное квантовое число.

ž -Уравнение Шредингера (1)

- волновая функция. х. - совокупность всех координат от собственного значения Гамильтона, от которого зависит функция.

-частота колебаний. Е - энергия

ž Путем замены переменных из уравнения (1): -постоянная Планка (Дж/с)

(2) -волновая функция

ž Решением уравнения (2) является:

(3)

Н_n - полинома Эрмита.

ž Энергию частиц можно решать по формуле:

(4)

Е_n -энергия частиц.

-энергия нулевых колебаний

E₀-энергия нулевых колебаний.

ž Вывод: 1)Спектр Оператора Гамильтона для одномерного движения во всех случаях носит дискретный характер. Однако закономерности движения интервалов между последовательными уровнями различны.

ž 2)Узловая структура волновых функций во всех случаях подчиняются одной и той же закономерности, тесть основного состояния узлов не имеет, а с увеличением энергии число узлов монотонно возрастает.