2015-08-21
1280
Можно говорить о существовании плоских и пространственных многоугольников. Трехзвенная замкнутая ломаная всегда лежит в некоторой плоскости, поэтому такая линия ограничивает некоторый плоский треугольник, поэтому треугольник – всегда плоская фигура, а четырехугольник может быть пространственным.
Учителю следует знать о различных подходах к понятию равенства плоских фигур. Так, например, Погорелов предлагал определять равенство треугольников с помощью равенства всех соответствующих элементов. Затем, намного позднее (после изучения движения) доказывается эквивалентность двух определений равных треугольников – вышеуказанного и как фигур, совмещаемых движением.
Потому усложняется доказательство признаков равенства треугольников, которые практически не воспроизводятся большинством школьников.
В других учебниках, например, Атанасяна, Вернера, Шарыгина, Шлыкова и др. равные фигуры определяются как совмещаемые друг с другом, что значительно упрощает доказательство признаков равенства треугольников.
|
|
|
В учебнике Шлыкова (7 класс, стр.79):
«Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т.е. можно совместить их вершины, стороны и углы».
При изучении этой темы у учеников формируется умение доказывать первые теоремы (признаки равенства треугольников), поэтому учитель использует на уроке проблемное изложение доказательств. Разумно использовать для выполнения чертежей цветные мелки.
Основное внимание следует уделять формированию умений применять свойства и признаки всех изученных четырехугольников при решении задач, обосновывать свои утверждения путем доказательных рассуждений.
Изучение темы вносит существенный вклад в развитие логического мышления. Основным аппаратом являются признаки равенства и свойства треугольников, поэтому систематизируются знания о свойствах треугольников, осуществляется перенос знаний на новый объект изучения. Углубляются общие представления о свойствах геометрических фигур.
Понятия треугольника и различных видов четырехугольника можно изучать, используя абстрактно-дедуктивный или конкретно-индуктивный метод введения понятий.
Анализируя предложенный в виде рисунков или (и) моделей материал, ученики самостоятельно могут определить отличительные признаки фигур и даже сформулировать определения.
При изучении треугольников, четырехугольников после введения определений целесообразно предлагать учащимся сформулировать различные определяющие признаки каждого вида фигур. Например:
1. Ромб – это параллелограмм, у которого диагональ является биссектрисой.
|
|
|
2. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие углы равны.
3. Квадрат – это ромб, у которого диагонали равны.
Такие утверждения ученики получают, решая задачи на дополнение достаточных свойств. Например:
Задача
1. В четырехугольнике противоположные углы (одна пара) равны. Что достаточно добавить, чтобы четырехугольник был параллелограммом.
2. В четырехугольнике противоположные стороны (одна пара) равны. Что достаточно добавить, чтобы четырехугольник был параллелограммом.
Можно предложить задания на выявление необходимых и достаточных признаков:
1. Чтобы треугольник был равнобедренным, …, чтобы все углы были равны;
2. Чтобы треугольник был прямоугольным, …, чтобы сумма двух углов была равна 90°.
Для более глубокого усвоения понятий и установления связей между различными видами треугольников и четырехугольников разумно предлагать классифицировать изученные понятия по различным признакам. Так, все изучаемые треугольники наглядно представлены в таблице.
| Углы Стороны | Остроугольный | Тупоугольный | Прямоугольный | |
| Разносторонний | 
| 
| 
| |
| Равнобедренный | Неравносторонний | 
| 
| 
|
| Равносторонний | 
| ———— | ———— |
Разумно предложить учащимся самостоятельно с помощью кругов Эйлера установить связь между понятиями: квадрат, прямоугольник, ромб.
| П К |
| Р |
Такой вид деятельности позволит изучать квадрат как фигуру, обладающую всеми свойствами прямоугольника и ромба одновременно.
Особое внимание при изучении многоугольников следует обратить на вопросы, связанные с возможностью описать (вписать) окружность. По новой программе эти вопросы изучаются в 9 классе.
Разумно первоначально ввести общие понятия о вписанных и описанных многоугольниках и выяснить расположение центров соответственных окружностей. Благодаря изученным определениям можно сформулировать необходимые и достаточные условия:
а) для существования вписанной окружности – биссектрисы всех внутренних углов многоугольника пересекаются в одной точке.
б) для существования описанной окружности – серединные перпендикуляры всех сторон пересекаются в одной точке.
Затем рассматриваются конкретные случаи: треугольник, четырехугольник, правильный многоугольник. При этом выясняется, что три точки однозначно определяют окружность, а для четырех точек должны быть сформулированы дополнительные условия.
Для выяснения свойств вписанных и описанных четырехугольников можно сформулировать четыре задачи:
1.Вокруг четырехуг-ка АВСD описана окружность 2.?
------------------------------------------------- -------------------------------------------------
? Вокруг четырехуг-ка АВСD описана окружность
3.В четырехуг-к АВСD вписана окружность 4.?
------------------------------------------------- -------------------------------------------------
? В четырехуг-к АВСD вписана окружность
Для параллелограммов ученики могут сформулировать дополнительные свойства:
1) Если около параллелограмма можно описать окружность, то он является … прямоугольником
2) Если около ромба можно описать окружность, то он является … квадратом
3) Если около трапеции можно описать окружность, то она является … равнобокой
4) Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является … ромбом
5) Если в прямоугольник можно вписать окружность, то он является… квадратом
Умение использовать изучаемые определения, признаки, свойства формируется при решении специально подобранных задач, которые желательно дифференцировать для учащихся по уровням сложности.
