Дискретна форма рядів Фур'є

Розглянемо розкладання (6), (7). Припустимо, що на відрізку функція задана в m равностоящих вузлових крапках , де ,

Використовуючи для обчислення коефіцієнтів формулу лівих прямокутників з (7) маємо

або, з огляду на ,

(8)

Співвідношення (8) називається дискретним перетворенням Фур'є.

Таким чином, з огляду на остаточно маємо

Зі співвідношень (8) випливають наступні властивості.

Властивість 1. Набір коефіцієнтів є комплексно сполученим, тобто

, ,

Дійсно, згідно (8), маємо

Властивість 2. Набір коефіцієнтів , є періодичним з періодом рівним m. Т.е. .

Обґрунтовується аналогічним образом.

Наслідок. Для побудови розкладання (8) при чисельному моделюванні з рівновіддаленими вузловими крапками досить обчислення по коефіцієнтів .

Так, при m=3, наприклад, - коефіцієнтів , . Тоді по властивості 1, а По властивості 2, - При m=4, - коефіцієнтів Тоді , і