Елементи загальної теорії

Нагадаємо основні положення теорії рядів Фур'є.

Нехай є деяка функція , задана на проміжку й розглядається нескінченна система функцій

.

Ставиться задача про подання даної функції у вигляді тригонометричного ряду

(1)

Таке подання за певних умов можливо і його коефіцієнти обчислюються по наступних формулах

(2)

Тригонометричний ряд (1) з коефіцієнтами (2) називається поруч Фур'є функції .

Справедлива наступна теорема про розкладність (т. Дирихле):

Якщо кусочно-монотонна функція й має не більш, ніж кінцеве число крапок розриву першого роду, то її ряд Фур'є (1), (2) сходиться до значення в крапках її безперервності й до середнього арифметичного її однобічних меж у крапках розриву.

Так, наприклад, якщо крапка розриву , то сума ряду Фур'є в цій крапці дорівнює

- (Малюнок 1),

де

, .

Малюнок 1. Пояснення до теореми Дирихле

Т.о. за винятком, бути може, кінцевого числа крапок сума ряду Фур'є (1), (2) дорівнює .

Зауваження 1. У крапках ряд Фур'є сходиться до середньої арифметичної правої й лівої меж функції в крапках відповідно.

Оборотний увага на особливості розкладання в ряд Фур'є парних і непарних функцій.

Якщо парна на відрізку , те , також парна, а , - непарна. Тому коефіцієнти

і розкладання (1) приймає вид

Якщо ж функція непарна, то також непарна, а , - парна.

Тому

,

і розкладання (1) приймає вид

Зауваження 2. Вираження в розкладанні (1), уводячи допоміжний кут, можна представити у вигляді , де й ряд у цілому

Тоді доданки називаються гармонійними складовими або гармоніками, коефіцієнти - амплітудами гармонік, частотами, - початковими фазами. Іноді гармоніка називається основний, гармоніки , - побічними.

Зауваження 3. Іноді тригонометричні розкладання заданої функції будуються на проміжку . У цьому випадку розглядається система тригонометричних функцій

1, ,

і розкладання має вигляд

(3)

де

(4)

.

Теорема Дирихле для проміжку формулюється відповідно аналогічним образом.