Системы линейных уравнений

Краткое содержание лекции

Обратная матрица

Определение: Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножение этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

А^-1 А = А А^-1 =Е

Если определитель матрицы отличен от нуля (| А | ≠ 0), то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (| А | = 0) – вырожденной или особенной.

Теорема: (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А^-1 существует (и единственная) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1. 2. (А^-1 ) ^-1 = А 3. (А^m ) ^-1 = (А^m ) ^-1 4. (АВ) ^-1 =В^-1 А^-1 5. (А^-1 )¹ = (А¹ ) ^-1

Системы линейных уравнений.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если оно имеет более одного решения.

Запишем систему в матричной форме. Обозначим:

На основании определения умножения и равенства матриц систему можно записать в виде: АХ = В

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю, т.е. в уравнении B=0, AX=0.