Вычисление площадей плоских фигур.
у
+ +
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула .
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
(ед2)
Нахождение площади криволинейного сектора.
r = f(j)
b
a
О r
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.
|
|
Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
Вычисление длины дуги кривой.
y y = f(x)
DSi Dyi
Dxi
a b x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .
Тогда длина дуги равна .
Из геометрических соображений:
В то же время
Т.е.
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем
,
где х = j(t) и у = y(t).
Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах, то
, r = f(j).
Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1 способ. Выразим из уравнения переменную у.
Найдем производную
Тогда
Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r, тогда
Вычисление объемов тел.
Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
Q(xi-1)
Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.
Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны MiDxi и miDxi здесь Dxi = xi - xi-1.
|
|
Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .
При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.
Пример: Найти объем шара радиуса R.
y
R y
-R 0 x R x
В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .
Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .
Получаем объем шара:
.
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.
Q S
x H x
При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.
Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.
Отсюда получаем функцию площадей сечений:
Находим объем пирамиды:
Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.
y = f(x)
x
Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле: