Исследование политропного процесса

Цель работы

Цель данной работы является практическое определение показателя политропы при истечении газа из сосуда в окружающую среду.

Краткие сведения из теории

Наименование данный процесс получил от сочетания двух греческих слов: «поли» - много и «тропос» - путь, т.е. политропный.

Соотношение термических параметров (P,V,T) в политропном процессе характеризуется следующими зависимостями:

PVⁿ= const или ⁿ; (11)

ТV^n-1= const или ^n-1; (12)

ТP^(1-n)|n= const или ^(1-n)/n; (13)

где Р – абсолютное давление, Н²/м; V – удельный объем, м³/кг; Т – абсолютная температура, К; n – показатель политропы n в конкретном термодинамическом процессе может иметь любое значение в пределах от – ∞ до +∞, оставаясь постоянным); С_V,C_P и С удельная (массовая) теплоемкость в процессе соответственно изохорном, изобарном и политропном, Дж/(кг×К).

Удельная теплоемкость в политропном процессе зависит от показателя политропы и может быть определена из формулы,

h=(C-C_P)/(C-C_V), преобразовав которую получим:

C=C_V_,(14)

где R – показатель адиабаты,

К = μС_З.μС_М= С_З.С_М (15)

μC_P и μC_V - удельная (киломольная) теплоемкость газа в процессе соответственно изобарном и изохорном, Дж/(кмоль×К).

Численное значение показателя адиабаты R для газов различной атомности можно определить по формуле (15), если использовать данные табл.2.

Как следует из табл. 2, разность μC_P-μC_V для газов различной атомности имеет одно и то же значение, которое равно 8314 Дж/(кмоль×К). Эта разность обозначается через μR и называется универсальной газовой постоянной, а выражение

μC_P - μC_V = μR (16)

или C_P - C_V = R

известно, как уравнение Майера.

Здесь R= μR/μ – газовая постоянная, Дж/ (кг×К).

Таблица 2

Киломольная теплоемкость при P= const и V= const и значения показателя адиабаты для газов различной атомности

Атомность газа	Газы	μC_V	μC_P	R
ккал/кмоль×К	кДж/кмоль×К	ккал/кмоль×К	кДж/кмоль×К
Одно-атомный	Не Ar	~3	~12,6	~5	~20,9	~1,67
Двух-атомный	H₂ O₂ N₂ CO	~5	~20,9	~7	~29,3	~1,4
Трех- и более атомный	CO₂ H₂O CH₄ NH₃	~7	~29,3	~9	~37,7	~1,29

Рис.3. Зависимость удельной теплоемкости от показателя политропы

Графическая зависимость удельной теплоемкости от показателя политропы приведена на рис. 3, откуда следует, что теплоемкость С в политропном процессе при k > n >1 имеет отрицательное значение. Следовательно в процессах, протекающих при данном значении показателя политропы, dg и dT имеют различные алгебраические знаки. Иными словами, если к рабочему телу в процессе при k > n >1 подводится теплота, то его температура снижается, а при отводе теплоты – повышается. (Разбираемый ниже пример подтверждает данное положение).

Расположение политроп в pV и Ts – координатах при различных значениях показателя политропы n, приведено на рис. 4, из которого видно, что политропный процесс изменения состояния газа по отношению к частным термодинамическим процессам (изохорному, изобарному, изотермному и адиабатному) является обобщающим.

Действительно, если в уравнении (11) принять:

n= 0, получим уравнение изобары (p =const);

n=1, получим уравнение изотермы(pV =const).

n=k, получим уравнение адиабаты (pV ^R=const);

n=±∞, получим уравнение изохоры (V =const).

Удельная теплоемкость частных термодинамических процессов может быть определена по рис. 1 или из формулы (13); при n= 0 (изобарный процесс) удельная теплоемкость Ср;

>> n =1 (изотермный процесс) >> C т=±∞;

>> n = k (адиабатный процесс) >> Cs =±∞;

>> n =±∞ (изохорный процесс) >> Cv =±∞.

Пользуясь одной из диаграмм (рис.2) можно определить как в конкретном процессе при расширении или сжатии газа и известном показателе политропы изменяется давление газа, его объем, температура, внутренняя энергия и энтропия, а также производится или отводится процессе от газа теплота. Так, например, из практики известно, что сжатие воздуха (двухатомный газ) в компрессоре, цилиндр, которого оборудован охлаждающей водяной рубашкой, осуществляется при показателе политропы n ≈1,35.

В этом случае политропа сжатия воздуха (значение k для которого = 1,41) располагается между изотермой 1-4’ и адиабатной 1-5’ и k > n >1 (см. рис. 2), что можно было бы определить и логически.

Теоретически возможны два крайних случая процесса сжатия газа в компрессоре:

1. Выделяющаяся при сжатии газа теплота полностью отводится во внешнюю среду, и температура сжимаемого газа остается неизменной – изотермическое сжатие.

(Изотермическое сжатие возможно в том случае, когда процесс происходит бесконечно длительное время, при котором разность температур между сжигаемым газом и внешней средой dT =0).

2. Сжатие газа производится в цилиндре, стенки которого являются

б)

Рис. 4. Области возможных политропных процессов (а) PY и TS (б) диаграммах

абсолютным теплоизолятором, и теплота, выделяющаяся при сжатии газа, полностью расходуется на нагрев сжимаемого газа (случай азиабатного сжатия).

В реальном компрессоре сжатие газа происходит за конечный (довольно небольшой) промежуток времени; стенки цилиндра компрессора выполняются из теплопроводного материала (охлаждаемого с внешней стороны водой). Поэтому в реальном компрессоре, чхотя и происходит теплообмен между сжатымнагревшимся газом и охлаждающей водой, в следствии быстро протекающего процесса сжатия он до конца пройти не успевает. При этом изменяются не только термические параметры T, p и V, но и энтропия газа S, т.е. наблюдается политропный процесс сжатия, который располагается между изотермным и адиабатным.

Пользуясь диаграммами (рис.2), определим, как изменяются в данном процессе интересующие нас величины:

1) объем газа уменьшается – (Δ V <0);

2) работа сжатия газа – отрицательная (L << - >>), что следует из формулы Δ L = p Δ V;

3) температура сжимаемого газа увеличивается – (Δ Т >0);

4) внутренняя энергия газа (Δ U >0) увеличивается, т.к. Δ U = c Δ T;

5) давление газа, сжимаемого в компрессоре, возрастает (Δ Р >0);

6) энтропия газа уменьшается (Δ S <0), поскольку его сжатие ведется с отводом теплоты (Δ q <0 или q << - >>), а энтропия и теплота связаны соотношением dS=dq/T;

7) значение показателя политропы «n» находится в пределах k > n >1.

Удельная работа, Дж/кг, расширения газа в политропном процессе может быть определена по одной из следующих формул:

L_nn =1/(n -1)×(p ₁ V ₁- p ₂ V ₂)= R /(n -1)×(T ₁- T ₂)= RT ₁/(n -1)×(1- T ₂/ T ₁)=

p ₁ V p ₁ V ₁

= ———[1- (V ₁/ V ₂) ⁿ ^-1]= ———[1- (P ₂/ P ₁) ⁽ⁿ ^-1)/ ⁿ ] (17)

n -1 n -1

Удельная теплота, Дж/кг, политропного процесса

q = c (T ₂- T ₁) = c_V (n-k)/(n -1) × (T ₂- T ₁) (18)

и изменение энтропии газа, Дж/(кг×К),

(S ₂- S ₁) = c_V (n-k)/(n -1) ln T ₂/ T ₁(19)

Для определения показателя политропы n в каком-либо реальном процессе имеются достаточно простые способы. Так, если располагаем индикаторной диаграммой процесса (см. рис. 2,а), то для определения среднего значения n, например в процессе 1-6, используется уравнение (10) для двух точек, в которых значение параметров p и V известно:

p ₁ V ₁ⁿ= p ₆ V ₆ n

После логарифмирования имеем

lg p ₁+ n lg V ₁= lg p ₆+ n lg V ₆

откуда

lg p ₆- lg p ₁

n = —————, (20)

lg V ₁- lg V ₆

Порядок выполнения лабораторной работы

Определение показателя политропы n для воздуха при его расширении проводится на лабораторной установке в такой последовательности (рис. 5):

С помощью вентилятора в баллон 1 при открытом кране 2 нагнетается воздух.

2. После создания внутри баллона избыточного давления Р _м1=1000 Н/м² кран 2 закрывают, а вентилятор отсоединяют от нагнетательного патрубка.

3. Поскольку температура нагнетаемого воздуха в результате его сжатия окажется несколько выше температуры окружающей сред, то для устранения этой разности делают некоторую выдержку (не менее пяти минут). При этом имеет место изохорный процесс – снижение температуры воздуха внутри баллона, имеющего постоянный объем. Для изохорного процесса соотношение термических параметров р и Т выражается уравнением

Рис. 5. Схема лабораторной установки к работе 2:

1 – стеклянный сосуд; 2 – пропковый запорный кран; 3 – образный жидкостный манометр

Т ₂/ Т ₁= Р ₂/ Р ₁ (21)

О моменте выравнивания температуры сжатого в баллоне воздуха с температурой окружающей среды сулят по окончанию измерения давление внутри сосуда, которое определяется с помощью U – образного манометра 3. Избыточное давление сжатого воздуха при этом несколько снижается с Р _м1 до Р ₃.

4. Открывают кран 2. В результате расширения газа давление в баллоне падает до атмосферного. При этом температура воздуха, находящегося в баллоне, снижается. Снижение температуры газа при его расширении обусловлено тем, что работа расширения совершается за счет внутренней энергии, т.е. ее уменьшения. Внутренняя энергия газа с его температурой связана соотношением U=cvT.

5. Кран 2 закрывают. Затем производят выдержку (не менее пяти минут) с целью выравнивания температуры воздуха в баллоне с температурой наружной среды. При этом в баллоне протекает изотермический процесс (при подводе теплоты из внешней среды к воздуху, находящемуся в баллоне).

О моменте выравнивания температуры газа в баллоне и наружного воздуха судят по окончанию измерения внутри баллона давления, определяемого с помощью U – образного манометра.

Абсолютное давление Р ₃ в баллоне становится больше атмосферного Р _б на величину Р _м3.

Показатель политропы для исследуемого газа в политропном процессе подсчитывается исходя из следующих соображений.

В результате адиабатного расширения газа соотношение термических параметров Т и Р выразится уравнением (12).

Т ₂/ Т ₁= (Р ₂/ Р ₁)⁽ ⁿ ^-1)/ ⁿ (22)

Вслед за адиабатным процессом расширения следует изохорный процесс нагревания газа, для которого согласно (20), соотношение параметров Т и Р выразится уравнением

Т ₂/ Т ₃= (Р ₂/ Р ₃) (23)

Однако по условию опыта Т1=Т3 =Токр, следовательно имеем

Р ₂/ Р ₃= (Р ₂/ Р ₁)^{(n -1)/ n} или(Р / Р ₁)^{(n -1)/ n} = Р _б / Р ₃ (24)

Пролагорифмируем последнее выражение:

(n -1)/ n lg (Р _б / Р ₁)= lg(Р _б / Р ₃),

или

n lg (Р _б/ Р ₁) - n lg (Р _б/ Р ₃)= lg(Р _б/ Р ₁),

откуда

lg Р ₁ - lg Р _б

n = −−−−−−−−−−, (25)

lg Р ₁ - lg Р ₃

где Р ₁= Р _б+ Р м₁; Р _б- барометрическое давление в момент опыта; Р _м1- избыточное (манометрическое) давление газа в баллоне перед его расширением; Р ₃= Р _б+ Р м₃; Р _м3- избыточное (манометрическое) давление газа в баллоне после его расширения и последующего за ним изохорного нагревания.

По указанию руководителя величины Р₁, Р_б и Р₃ в формуле (25) подставляют в одной из следующих единиц измерения: Н/м²; мм вод.ст. (кгс/м²); мм рт ст и др.

В отчете по лабораторной работе следует привести следующие данные:

1.) цель и порядок выполнения работы;

2.) схему лабораторной установки;

3.) результаты опытных данных, сведенные в таблице 5;

4.) изображение процесса изменения состояния газа в эксперименте в p v Ts – координатах и его сравнение с изохорным, изобарным, изотермным и адиабатным.

Таблица 5

Данные опыта	Индекс	Размерность	Величина
Барометрическое давление в момент опыта	Р_б
Избыточное (манометрическое) давление в баллоне перед расширением газа	Р_м₁
Абсолютное давление в баллоне перед расширением газа	Р₁
Избыточное (манометрическое) давление в баллоне после расширения газа и его изохорного нагревания	Р_м₂
Абсолютное давление в баллоне перед расширением газа и его изохорного нагревания	Р₃
Показатель адиабаты исследуемого газа	k
Показатель политропы, полученный в опыте	n