Смешанная задача на полуоси

1 2 3

Пусть в области , поставлена задача:

(3.1.)

(3.2.)

(3.3.)

(3.4.)

Эта задача отличается от задачи пункта 1. добавлением граничного условия (3.4.).

Разделим первую координатную

четверть плоскости x O t главной

характеристикой x = 2 t уравнения

(3.1.) (см. рисунок). Образуется два

сектора: I и II.

Сначала решим задачу в секторе I.

Сектор I примыкает к границе

области только по лучу оси O x t = 0,

x > 0. Поэтому решение задачи в

секторе I определяется только

начальными условиями (3.2.), (3.3.).

Следовательно, оно совпадает с решением задачи Коши (1.1.) – (1.3.):

. (3.5.)

Осталось найти решение в секторе II, то есть при x – 2 t < 0. Заметим, что через каждую точку M сектора II проходит некоторая единственная характеристика вида , заходящая в сектор I. В секторе I мы уже нашли функцию D (x +2 t). Ясно, что , то есть функция D (x +2 t) определена и в секторе II. Этого нельзя сказать о функции C (x -2 t), так как если характеристика вида проходит через M, то она не заходит в сектор I. Поэтому, в формуле (3.5.) заменим функцию на другую, пока неизвестную функцию . Стало быть, решение в секторе II ищем в виде

. (3.6.)

Сектор II примыкает к границе нашей области только вдоль луча x = 0, t > 0 оси O t. Поэтому функцию в формуле (3.6.) находим с помощью условия (3.4.):

. Отсюда . Обозначим , получим . Значит,