Задача Коши

Пусть в области дано уравнение (1.1.)

с начальными условиями

(1.2.)

(1.3.)

Проинтегрируем сначала дифференциальное уравнение (1.1.). Его общее решение есть сумма некоторого его частного решения и общего решения однородного уравнения:

.

Разыскивая частное решение в виде функции, зависящей только от t (ибо такова правая часть уравнения!), легко найдём

.

Стало быть, . Теперь функция v находится из уравнения , которое в канонических координатах приобретает вид (вспомните прошлое занятие!) . Отсюда, как мы уже знаем, получается .

Возвращаясь к старым переменным, получим . Значит, общее решение уравнения (1.1.) есть (1.4.)

Теперь надо найти функции C (x -2 t) и D (x +2 t) из условий (1.2.), (1.3.). Чтобы применить условие (1.3.), продифференцируем решение (1.4.) по t:

(1.5.).

Обратите внимание, что в формуле (1.5.) штрихи при буквах C и D означают производные по (x -2 t) и по (x +2 t) соответственно, а не по t.

Полагая в (1.4.) и (1.5.) t = 0, и применяя начальные условия (1.2.) и (1.3.), получим

, .

В последнем равенстве штрихи означают уже производные по x, поскольку оба аргумента (x -2 t) и (x +2 t) при t = 0 обращаются в x. Интегрируя по x последнее равенство, а предпоследнее умножая на 2, получим , . Отсюда уже легко найти, складывая и вычитая почленно последние равенства, что, соответственно, , . Теперь в найденных функциях C (x) и D (x) заменим x на (x -2 t) и (x +2 t) соответственно, и подставим функции C (x -2 t) и D (x +2 t) в (1.4.):

.

Следовательно, – решение данной задачи Коши.

Упражнение. Решите задачу Коши в области t > 0:

,

,

.

2. Задача Гурсá.

В области рассмотрим следующую краевую задачу:

, (2.1.)

. (2.2.)

Уравнение (2.1.) ради экономии времени сразу дано во второй канонической форме. То есть, каноническими переменными здесь являются сами x и y. Заметим, что граничное условие (2.2.), в отличие от задачи Коши, задано на участках x = 0, (при y > 0) и y = 0, (при x > 0) характеристик дифференциального уравнения (2.1.). Задачи с краевыми условиями такого вида называются задачами Гурсá.

Согласно общей схеме метода Даламбера, сначала проинтегрируем уравнение (2.1.). Его правая часть зависит лишь от x. Поэтому в таком же виде найдём и его частное решение . Соответствующее однородное уравнение можно решить таким образом: , , , , , . Следовательно, общее решение есть . (2.3.)

Теперь, как и при решении задачи Коши, находим пару функций C (x) и D (y) в соответствии с парой условий (2.2.):

,

.

Найденные функции подставляем в (2.3.): . Таким образом, .

Упражнение. Решите задачу Гурсá в области y > 0, x > y: ,

.