2015-08-21
309
Для решения поставленных задач введем обозначения:
Y(t)– доход в момент времени t;
С(t)– потребление в момент времени t;
I(t)– инвестиции в момент времени t.
Исходя из основного допущения модели, в котором предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям: 
, где В - коэффициент капиталоемкости прироста дохода, запишем уравнение динамики дохода, дополнив его начальным условием:
(1)
Первый вариант модели получается, если считать С(t) = 0. Хотя с практической точки зрения такой вариант не реализуем, все же он позволяет определить максимальные технически возможные темпы роста. В этом случае получаем:
(2)
(2) – задача Коши для линейного однородного дифференциального уравнения, и её решение (доказать) имеет вид:
Таблица 1 – Динамика дохода при С=0
| t | Y1 | C1 |
| 80,00 | 0,00 | |
| 88,41 | 0,00 | |
| 97,71 | 0,00 | |
| 107,99 | 0,00 | |
| 119,35 | 0,00 | |
| 131,90 | 0,00 | |
| 145,77 | 0,00 | |
| 161,10 | 0,00 | |
| 178,04 | 0,00 | |
| 196,77 | 0,00 | |
| 217,46 | 0,00 |
Рисунок 1 – Динамика дохода при нулевом уровне потребления
|
|
|
Непрерывный темп прироста здесь равен 
= 1/В, что соответствует максимально технологически возможному темпу прироста.
Рассмотрим второй вариант, С(t) = С постоянно во времени. Исходя из базовой модели Харрода-Домара (1), получаем неоднородное линейное дифференциальное уравнение
Решение (доказать самостоятельно) имеет вид
.
Непрерывный темп прироста дохода [ ] в этом варианте равен 
. В начальный момент времени (при t=0) он составляет 
и, возрастая при t→∞, стремится к 1/B. То есть доход растет, а постоянный объем потребления составляет все меньшую его долю. Величина в скобках 
есть норма накопления в момент времени t; темп прироста дохода пропорционален этой величине, как и показателю приростной капиталоотдачи 1/B.
Таблица 1 – Динамика дохода при С=const
| t | Y2 | C2 |
| 80,00 | 60,00 | |
| 82,10 | 60,00 | |
| 84,43 | 60,00 | |
| 87,00 | 60,00 | |
| 89,84 | 60,00 | |
| 92,97 | 60,00 | |
| 96,44 | 60,00 | |
| 100,28 | 60,00 | |
| 104,51 | 60,00 | |
| 109,19 | 60,00 | |
| 114,37 | 60,00 |
Рисунок 2 – Динамика дохода при постоянном уровне потребления
Следовательно, при прочих равных условиях рост нормы накопления пропорционально увеличивает темпы прироста дохода. В то же время это снижает уровень текущего потребления, и возникает проблема согласования конкурентных целей увеличения темпов роста и уровня текущего благосостояния.
Рассмотрим третий вариант модели с показателем потребления С(t), растущим с постоянным темпом r:
Модель примет вид:
Решение поставленной задачи (проверить самостоятельно) имеет вид:
(**)
Далее рассмотрим, как влияет на характер решения величина r.
|
|
|
1 случай. Предположим, что r>1/В, тогда потребление будет занимать все большую и в конце концов - подавляющую часть дохода, что сведет к нулю сначала инвестиции, а затем и доход. Ясно это и из формулы решения модели, поскольку в случае r>1/B коэффициент 1/(1-Br) отрицателен, а еrt растет быстрее, чем е (1/B)t, - следовательно, второе слагаемое при этом отрицательно и через некоторое время «перевесит» первое.
Таблица 1 – Динамика дохода при
| t | Y31 | C31 |
| 80,00 | 60,00 | |
| 81,44 | 73,28 | |
| 81,49 | 89,51 | |
| 79,65 | 109,33 | |
| 75,32 | 133,53 | |
| 67,72 | 163,10 | |
| 55,89 | 199,21 | |
| 38,61 | 243,31 | |
| 14,39 | 297,18 | |
| -18,63 | 362,98 | |
| -62,78 | 443,34 |
Рисунок 3 – Динамика дохода при темпе прироста потребления r1= 0,4 (> 1/B).
Из графика видно, что с течением времени потребление будет занимать все большую и, в конце концов, – подавляющую часть дохода. В результате инвестиции придут к нулевой отметке, а затем и доход. Данная модель не может рассматриваться как оптимальная, поскольку в экономике появляется ситуация накопления ради потребления.
2 случай. Если в рассматриваемой модели роста 1/B>r> 
0/B, то требуемый темп прироста потребления оказывается слишком высоким для экономики. В этом случае коэффициент 
отрицателен и, поскольку 1/B>r, первое, отрицательное слагаемое в решении «перевешивает» в конце концов, второе. Поэтому темп прироста дохода падает и становится с некоторого момента отрицательным. Через некоторое время сам доход становится равным нулю, после чего модель теряет экономический смысл. В данном случае слишком низкой оказывается начальная норма накопления 0.
Таблица 4 – Динамика дохода при
| t | Y32 | C32 |
| 80,00 | 60,00 | |
| 80,26 | 98,92 | |
| 75,26 | 163,10 | |
| 61,01 | 268,90 | |
| 30,89 | 443,34 | |
| -26,11 | 730,95 | |
| -128,18 | 1205,13 | |
| -305,43 | 1986,93 | |
| -607,55 | 3275,89 | |
| -1116,59 | 5401,03 | |
| -1967,96 | 8904,79 |
Рисунок 4 – Динамика дохода при темпе прироста потребления, r2 = 0,3 (1/B>r> 0/B).
3 случай. Если r < 0/B, то норма накопления, а вместе с ней и темп прироста дохода растут, причем последний в пределе приближается к 1/B. Однако в этом случае происходит “накопление ради накопления”, ибо потребление растет заданным темпом r, а темп прироста дохода удается увеличить за счет более быстрого роста инвестиций. Норма накопления 0 здесь превышает Вr, и если исходить из задачи максимизации объема потребления, то эта норма слишком высока. Более высокий ее уровень требует увеличения инвестиций I(0) за счет сокращения потребления С(0) в начальный момент, что при фиксированном темпе прироста потребления r обусловливает более низкий его уровень на всей траектории.
Рисунок 5 – Динамика дохода и потребления при темпе прироста потребления, r3. = 0,05
4 случай. Предположим, что 
, тогда из (6) остается, что 
(7) - данное соотношение называется моделью Харрода.
Рисунок 6 – Динамика дохода при темпе прироста потребления, r4 = 0,333 (r= 0/B).
Следовательно нужный темп прироста потребления при r < 1/B можно поддерживать, как видно из графика, при 0 = Вr. Таким образом, если требуется поддерживать постоянный темп прироста потребления r, не превышающий технологического темпа, то для максимизации объема потребления за любой период нужно установить начальную норму накопления 0 = Вr.
Если r = р0, то темп прироста дохода равен темпу прироста потребления, и решением является 
. Норма накопления (t) в этом случае постоянна во времени и равна 0, а темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоемкости. Именно эта модификация модели экономического роста, в которой постоянна норма накопления, называется моделью Харрода-Домара.
Более сложен вопрос о том, какой уровень темпа r более предпочтителен. Большая его величина позволяет обеспечить больший объем потребления за длительный период, но это происходит за счет сокращения потребления на начальном этапе. Таким образом, для выбора значения r (если оно предполагается постоянным) нужна информация о межвременных предпочтениях лица, принимающего решение.
|
|
|
Для того, чтобы не происходило накопления ради накопления, целесообразно выбирать темпы прироста потребления на уровне ρ0/В, т.е. в нашем случае на уровне 0,08333. В этой модели темп прироста дохода равен темпу прироста потребления. Темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоемкости.
Из анализа всех построенных моделей можно сделать вывод, что первая модель развития экономики при темпе прироста потребления r1= 0,4 (> 1/B) не может рассматриваться как оптимальная, поскольку в экономике появляется ситуация накопления ради потребления. Во второй модели при темпе прироста потребления r2=0,3 (1/B>r>a0) наблюдается ситуация, в которой темп прироста дохода падает и становится с момента времени t=4,5 отрицательной величиной. В результате сам доход становится равным нулю, модель теряет экономический смысл. Наиболее оптимальным вариантом развития экономики является модель (рис.9), с темпом роста потребления 
/В= 0,08333 и нормой накопления в данном случае постоянной во времени 0=0,25, поскольку темп прироста дохода равен темпу прироста потребления. Темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоемкости.
