Приклад виконання лабораторної роботи Д11

У даній механічній системі (див. схеми у звіті до лабораторної роботи) колеса 1 і 2 механізму обертаються навколо нерухомих осей, а вантаж 3 здійснює поступальний рух.

Запишемо диференціальні рівняння руху кожного з цих трьох тіл, для чого відділимо одне від одного, розрізавши нитку, що утримує вантаж 3, і роз´єднаємо колеса 1 і 2 у точках стикування зубців (див. розрахункову схему).

До колеса 1 прикладена сила ваги m₁ , рушійний момент М, складові реакції підшипника _А, _А, окружне зусилля ₁ і нормальна реакція ₁ колеса 2.

До колеса 2 механізму прикладені сила ваги m₂ , момент сил опору М_с, складові реакції підшипника _b, _b, сила натягнення нитки, до якої причеплений вантаж 3, окружне зусилля ₂ і нормальна реакція ₂ колеса 1.

До вантажа 3 прикладені сила ваги m₃ і натягнення нитки ₁.

Очевидно, що

₂ = − ₁, ₁ = − ₂, ₁ = − _.

Диференціальне рівняння обертального руху колеса 1 навколо осі х₁ складаємо у вигляді

I_{х1 1} = ,

де – головний момент зовнішніх сил, прикладених до колеса 1, відносно осі обертання х₁:

= Μ – S₁R₁.

(Момент М приводить до руху колесо 1 і тому прийнятий додатним, а момент, що здійснюється окружним зусиллям ₁, перешкоджає обертанню колеса 1 і, таким чином, від´ємний).

Диференціальне рівняння обертального руху колеса 1 приймає вигляд:

₁ = Μ – S₁R₁. (1)

Складемо диференціальне рівняння обертального руху колеса 2 навколо осі х₂:

I_{х2 2} = ∑

або

I_{х2 2} = S₂R₂ − T − . (2)

(Знаки моментів сил ₂, і моменту сил опору прийняті за тим же правилом, що і при складанні рівняння (1)).

Складемо диференціальне рівняння поступального руху вантажа 3:

m₃ = ∑F ,

де проекція головного вектора зовнішніх сил, прикладених до вантажа 3, на вісь z, спрямовану у бік руху вантажа, тобто догори:

∑F = T₁ – m₃g

І, таким чином, маємо диференціальне рів неня у вигляді

m₃ = T₁ – m₃g.

В рівняннях (1), (2), (3) невідомими є сили T₁ = T, S₁ = S₂ = S, а також функції ₁(t), ₂(t) і (t) – кутові прискорення колес 1, 2 і прискорення вантажа 3відповідно. Але зазначені функції пов´язані між собою співвідношеннями

= , (4)

= ₂r₂. (5)

Таким чином, із врахуванням (4) і (5) система рівнянь (1), (2), (3) може бути зведена до системи з трьома невідомими T, S і ₂, тобто розв´язується цілком алгебраїчно.

Числове вирішення наведено у прикладі звіту лабораторної роботи.

Визначити рівняння руху тіла системи, вказаного в останньому стовбчику таблиці вихідних даних.

Визначити також …