2015-08-13
311
ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС
Ортонормированная система, состоящая из n векторов n -мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.
Если e 1, e 2, ..., e n — ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства и
x = x 1 e1 + x 2 e2 +... + x n e n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x i =(x, e i ), i = 1, 2,..., n.
ПРИМЕР
Пространство n -мерных арифметических векторов Rn с естественным скалярным произведением (x,y) = x 1·y1+ x 2 ·y 2 +...+ x n ·y n − n -мерное евклидово пространство.
Векторы e 1= (1, 0, 0,..., 0, 0), e 2= (0, 1, 0,..., 0, 0),..., e n -1= (0, 0, 0,..., 1, 0), e n = (0, 0, 0,..., 0, 1),
образуют ортонормированный базис пространства Rn.
Очевидно, что (e i, e j) = 0, если i ≠ j, (e i, e i ) = 1.
