Одночлены и многочлены

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы.

Например, 3 a ² b ⁴ , b d ³, – 17 a b c - одночлены.

Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x ³ y ²– 5 b ³ x ³ y ² + c ⁵ x ³ y ² = (a – 5 b ³ + c ⁵ ) x ³ y ².

Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р: 5 a x ³ z ⁸ ( – 7 a ³ x ³ y ² ) = – 35 a ⁴ x ⁶ y ² z ⁸.

Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р: 35 a ⁴ x ³ z ⁹: 7 a x ² z ⁶ = 5 a ³ x z ³.

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а из трех членов — трехчленом. Одночлены принято рассмат­ривать как частный случай многочленов — считают, что это многочлены, состоящие из одного члена.

Если все члены многочлена являются одночленами стан­дартного вида и среди них нет подобных членов, то такой мно­гочлен называют многочленом стандартного вида.

Представим в стандартном виде многочлен Заb-а²+b-2аb + 5b.

Для этого достаточно привести подобные слагаемые, т. е. подобные члены этого многочлена: Заb – а² + b - 2аb + 5b_ = аb - а² + 6b.

Если многочлен стандартного вида содержит одну перемен­ную, то его члены обычно располагают в порядке убывания ее степеней. При этом свободный член многочлена, т. е. член, не содержащий буквы, помещают на последнем месте.

Например, многочлен 5х² + 1 - х³ + 4х записывают так: -х³ + 5х² + 4х - 1.

Наибольший показатель степени, в которой переменная вхо­дит в этот многочлен, равен 3. Говорят, что -х³ +- 5х² + 4х - 1 — многочлен третьей степени.

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение: