А.9 Пример восстановления гидрологического ряда с учетом независимой случайной составляющей

В качестве исходной информации взяты среднегодовые расходы воды р. Днепр у г. Орша за 1882 - 1947 гг. (таблица А.9). Восстановление гидрологического ряда производят по уравнению регрессии с учетом отклонений от линии регрессии по нормальному закону распределения.

Для примера разделим исходный ряд на две части. Предположим, что имеются данные за 1882 - 1911 гг. (у_i) и требуется восстановить значения расходов за последующий период с 1912 по 1947 г.

В качестве аналога выбран ряд среднегодовых расходов воды р. Оки у г. Калуги (x_i), коэффициент корреляции r_xy = 0,835. Определяют параметры этих рядов за период наблюдений с 1882 по 1911 г.:

р. Днепр: = 127 м³/с; σ _у = 33,7: С_vy = 0,27;

р. Ока: = 307 м³/с; σ _x = 78,9; С_vx = 0,26.

С учетом этих параметров уравнение регрессии примет вид:

(A.7)

у_i _регр = 0,36 x_i + 17,6. (A.8)

Используя уравнение (А.8) и значения расходов воды реки-аналога x_i за восстанавливаемый период, получаем значения у_i _регр (таблица А.9, столбец 7).

Восстанавливают значения y_i по формуле (А.8). т.е. при условии, что колебания независимой составляющей подчинены нормальному распределению.

Для данного примера в рассчитанные по уравнению (А.8) погодичные значения у_i за период с 1912 по 1947 г. вносят независимую случайную составляющую, определяемую по выражению

. (А.9)

Откорректированные значения у_i определяют по формуле

. (A.10)

Таблицa A.9- Восстановление гидрологического ряда среднегодовых расходов воды р. Днепра у г. Орши (у_i) с использованием данных о стоке воды реки-аналога (р. Ока - г. Калуга, x_i) и с учетом нормальной случайной составляющей

№ п. п.	Год	Данные наблюдений	Год	Данные наблюдений x_i	Восстановленные значения у_i _регр	Обеспеченность Р, %	Случайное отклонение	Откорректированные восстановленные значения у_i	Данные наблюдений у ₂
x_i	у_i;	φ_{р i}	18,5 × φ_{р i}

			78,8				28,2	0,59
							67,0	-0,42	-8
							19,7	0,85			98,4
							68,8	-0,47	-9
							75,0	-0,67	-12
							11,3	1,20
						96,9	55,2	-0,12	-2,2	94,7
							11,5	1,19
			76,3				81,4	-0,89	-16		84,8
			ПО			67,4	31,8	0,80		82,4	60,3
						83,9	42,3	0,20	3,7	87,6
							17,7	0,92			99,5
							5,68	1,57
							53,0	-0,05	-9
							94,5	-1,60	-30
							0,18	2,90
			92,2			81,1	87,5	-1,12	-20,7	60,4
							88,7	-1,20	-22
							20,1	0,84
							60,9	-0,26	-5
							51,4	-0,02
						95,8	54,2	-0,10	-1,9	93,9
			93,0				57,9	-0,18	-3
							2,33	2,00
						99,8	76,1	-0,70	-13	86,8
						96,2	63,2	-0,30	-5,6	90,6	83,8
							27,6	0,60
							6,33	1,50
			99,3				64,1	-0,35	-6
							28,4	1,56

Расчет производят в следующем порядке (таблица А.9):

1) выписывают из таблицы равномерно распределенных случайных чисел (таблица А.10) 30-членный ряд четырехзначных случайных чисел ξ _i. От значений ξ _i переходят к значениям обеспеченностей Р_i = ξ _i / 100 (таблица А.9, столбец 8);

2) переход от обеспеченностей Р_i к величине отклонения φ_{p i} осуществляют с помощью стандартного нормативного или гамма-распределения [5]:

3) полученное значение φ_{p i} относят к стандартному отклонению σ _у,т.е. умножают на σ_у = 18,5 (таблица А.9, столбец 10);

4) суммируя погодичные значения у_i _регр (таблица А.9, столбец 7) и рассчитанные по формуле (А.9) отклонения φ_{p i}, определяют по формуле (А.10) ряд значений у_i восстановленных с учетом независимой случайной составляющей, распределенной по нормальному закону.

Таблица А.10 - Равномерно распределенные случайные числа ξ _i