2015-08-13
1570Плотность вероятности НепрерывныхСВ, её определение, свойства. Кривая распределения. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.
Скорость изменения функции распределения хар-ся плотностью распр-я. Обозначается символом 
. Плотностью вер-ти (плотностью распр-я) НСВ Х наз-ся производная её ф-ии распр-я 
Свойства плотности распр-я (ПР):
С1. ПР – неотрицательная функция. 
;
С2. Вер-ть попадания НСВ в интервал [a,b] равна определённому интегралу от её плотности вер-ти в пределах от a до b, т.е. 
С3. Ф-я распр НСВ м\б выражена через плотность вер-ти по формуле: 
С4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вер-ти НСВ =1. 
Из выражений, связывающих плотность и функцию распределения следует, что м\у ними существует взаимно однозначное соответствие, те каждое из них определяет выражение другой.
Плотность вер-ти, как и ф-ция рапр-я явл-ся одной из форм закона распределения, но в отличии от ф-ции рапр, она существует только для НСВ. Плотность вер-ти называют и дифференциальной функцией. График плотности вер-ти называется кривой распределения.
ПР составляет основания определения хар-к сл\в: мат\о и дисперсии.
Мат\ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл 
. Если возможные значения сл\в рассматриваются на всей числовой оси, то м\о находится по формуле: 
. При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией НСВ называется мат\о квадрата ее отклонения. 
По аналогии с дисперсией дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула: 
Мат\о определяется: 
,если интеграл абсолютно сходится и 
, если интеграл сходится. С3 дисперсии имеет вид: 
или 
Определение нормального закона распределения. Теорико-вероятный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость её положения и формы от параметров.
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности 
. Нормальный закон распр также называется законом Гаусса. НЗР занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда сл\в является результатом действия большого числа различных факторов. К НЗ приближаются все остальные законы распределения.
Можно легко показать, что параметры 
и 
, входящие в плотность распределения являются соответственно мат\ожиданием и средним квадратическим отклонением сл\в Х.
Найдем функцию распределения F(x).
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1) Функция определена на всей числовой оси.
2) При всех х ф-я распр принимает только положительные значения.
3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вер-ти, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.
4) Найдем экстремум функции:
; 
Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m, то в точке х = т функция имеет максимум, равный 
5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности:
При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно 
Построим график функции плотности распределения.
Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. При увеличении знач среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..
Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном. При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: 
22. Функция распределения нормальной распределённой сл\величины и её выражение через функцию Лапласа.
