Функцией распределения называют функцию определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т. е. .
Пример 38. Дан ряд распределения случайной величины :
–2 | ||||
0,4 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
Составить функцию распределения и построить ее график.
Решение:
при
при
при
при
при
Рис. 1. График функции распределения
Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:
Для непрерывной случайной величины:
(3.9)
Пример 39. Случайная величина задана функцией распределения
Найдите вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение. Так как на интервале , то Следовательно,
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию – первую производную от функции распределения
Пример 40. Дана функция распределения случайной величины :
Найдите плотность распределения .
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до : .
Пример 41. Задана плотность вероятности случайной величины
Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение. Искомая вероятность равна:
Зная плотность распределения можно найти функцию распределения по формуле .
Пример 42. Найдите функцию распределения по данной плотности распределения:
Решение. Используем формулу .
Если , то . Следовательно, .
Если , то .
Если , то .
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах
от до равен единице: (основное условие нормировки).
Пример 43. Случайная величина задана плотностью распределения
Найдите коэффициент .
Решение. Воспользуемся формулой .
.
Следовательно, .