2015-05-13
45567
Функцией распределения называют функцию 
определяющую вероятность того, что случайная величина 
в результате испытания примет значение, меньшее 
, т. е. 
.
Пример 38. Дан ряд распределения случайной величины :
| –2 | |||
 | 0,4 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
Составить функцию распределения и построить ее график.
Решение:
при 
при 
при 
при 
при 
 |
Рис. 1. График функции распределения
Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале 
, равна приращению функции распределения на этом интервале: 
Для непрерывной случайной величины:
(3.9)
Пример 39. Случайная величина задана функцией распределения
Найдите вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу 
.
Решение. 
Так как на интервале 
, то 
Следовательно, 
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию 
– первую производную от функции распределения 
Пример 40. Дана функция распределения случайной величины :
Найдите плотность распределения .
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу 
равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от 
до 
: 
.
Пример 41. Задана плотность вероятности случайной величины
Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу 
.
Решение. Искомая вероятность равна:
Зная плотность распределения можно найти функцию распределения по формуле 
.
Пример 42. Найдите функцию распределения по данной плотности распределения:
Решение. Используем формулу .
Если 
, то 
. Следовательно, 
.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
.
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах
от 
до 
равен единице: 
(основное условие нормировки).
Пример 43. Случайная величина задана плотностью распределения
Найдите коэффициент .
Решение. Воспользуемся формулой 
.
.
Следовательно, 
.
