Условные законы распределения

Если случайные величины, образующие систему, зависимы, то для нахождения закона распределения системы недостаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Требуется еще знать так называемый условный закон распределения одной из них.

Определение. Условным законом распределения одной из величин , входящих в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Начнем с наиболее простого случая. Пусть случайная величина Y является дискретной.

Определение. Условной функцией распределения случайной величины X при условии называется условная вероятность события при условии события , т.е.

Аналогично определяется условная функция распределения случайной величины Y при условии (когда случайная величина X является дискретной):

Замечание 1. Условная функция распределения обладает всеми свойствами, которые присущи обычной (безусловной) функции распределения.

Замечание 2. Если случайная величина X также дискретная, причем , то удобно рассматривать условную вероятность случайной величине X принять значение при условии :

Обычно условное распределение описывают с помощью таблицы. Ясно, что элементы второй строки этой таблицы получаются по формулам .

Аналогично определяется условная вероятность случайной величине Y принять значение при условии :

Пример 2.2.20. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Y X
–1	0,3	0,25
	0,1	0,05
	0,2	0,1

Описать условные законы распределения: 1) случайной величины X при условии ; 2) случайной величины Y при условии .

Решение. Найдем безусловные законы распределения компонент X и Y:

Y X
–1	0,3	0,25	0,55
	0,1	0,05	0,15
	0,2	0,1	0,3
	0,6	0,4

1) Условные вероятности случайной величине X принять значения () при условии вычисляются по формулам:

Тогда условный закон распределения случайной величины X при условии имеет вид:

X	–1			Контроль:

2) Условные вероятности случайной величине Y принять значения () при условии вычисляются по формулам:

Тогда условный закон распределения случайной величины Y при условии имеет вид:

Y			Контроль:

В общем случае условную функцию распределения случайной величины X при условии также естественно было бы определить формулой

Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины Y событие имеет нулевую вероятность). Во избежание этих неприятностей, вместо события рассматривается событие и D устремляется к нулю. Тогда

Тогда условной функцией распределения называется предел

Оказывается, такой предел всегда существует. Аналогично

Если случайная величина Y непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выражением:

Аналогично

В наиболее важных для приложений случаях вектор представляет собой двумерную непрерывную случайную величину с совместной плотностью . Тогда

, .

Нетрудно видеть, что условная функция распределения имеет производную по x, т.е. существует условная плотность распределения случайной величины X при условии :

Аналогично

Пример 2.2.21. В примере 2.2.10 была дана функция плотности :

и найдены безусловные плотности распределения компонент X и Y:

Найти условные плотности распределения компонент X и Y.

Решение. Условные плотности распределения компонент X и Y находятся по формулам , .

Поэтому

Таким образом, случайная величина X при условии равномерно распределена на отрезке , а случайная величина Y при условии равномерно распределена на отрезке . Условная плотность не определена при , а условная плотность не определена при .

Пример 2.2.22. Дан двумерный случайный вектор , где X – время появления в магазине первого покупателя в понедельник, а Y – время появления в магазине первого покупателя во вторник. Установлено, что , если . Найти: , , , . Установить, зависимы или нет случайные величины X и Y.

Решение. Найдем вначале функцию распределения случайного вектора :

, ;

в остальных случаях.

Тогда по свойству 4 совместной функции распределения получим:

при , при .

Отсюда при , при .

Найдем теперь условные функции распределения компонент:

при ,

аналогично при .

Получим теперь условные плотности компонент:

при ,

при .

Поскольку , , то . Поэтому случайные величины X и Y независимы. Это означает, что появление в магазине первого покупателя во вторник не зависит от того, когда в магазин пришел первый покупатель в понедельник.

Ответ: при положительных x и y , , , ; случайные величины X и Y независимы.

Пример 2.2.23. Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины :

Найти: 1) плотности распределения компонент X и Y; 2) условные плотности распределения компонент X и Y.

Решение. 1) Найдем вначале плотность распределения компоненты X:

Вынося за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополнив оставшийся показатель степени до полного квадрата, получим: