Контроль составления нормальных уравнений

Составление нормальных уравнений надо контролировать. В каждом условном уравнении образуем сумму s_k коэффициентов при всех неизвестных и свободного члена; s_k есть сумма элементов k–й строки расширенной матрицы коэффициентов.

Далее вычисляем сумму произведений по столбцам системы условных уравнений и подставляем значение s_k

или в обозначениях Гаусса

а это сумма коэффициентов и свободного члена 1-го нормального уравнения!

Итак

Для проверки составления нормальных уравнений следует проделать следующее:

1. просуммировать коэффициенты и свободный член каждого условного уравнения (найти s_k)

2. найти сумму произведений коэффициентов 1-го столбца на суммы s_k

3. найти суммы коэффициентов и свободного члена 1-го нормального уравнения

4. суммы, найденные в п.2 и п.3 должны совпадать.

Аналогично поступаем для проверки составления 2-го, 3-го и т.д. нормальных уравнений.

s₁ m>n

s₂

s₃

… … … … … …

s_m

контроль k-й строки

При умножениях и сложениях надо сохранять все знаки, какие формально получаются при действиях с приближенными числами. Тогда контрольные равенства должны удовлетворяться точно.

Пример Проведем контроль составления нормальных уравнений предыдущего примера.

условные уравнения s

1255 34

нормальные уравнения (суммы коэфф и св члена)

Метод наименьших квадратов в описанном виде применяется только к линейным уравнениям. Одной из задач этого метода является приведение уравнений к линейному виду относительно неизвестных.

Пусть из наблюдений получена совокупность значений x_i и y_i и известно, что значения связаны функцией . Найти наилучшие A и B.

, где

Методом наименьших квадратов решается система

… … … …

относительно . Окончательно .

Пусть из наблюдений получена совокупность значений x_i и y_i и известно, что значения y_i удовлетворяют нормальному закону распределения вероятности Гаусса. Найти коэффициенты в формуле распределения Гаусса

введем обозначения

тогда получим систему условных уравнений:

, решая которую методом наименьших квадратов получим , из которых найдем параметры нормального распределения .

Пример Из наблюдений получено

x_i	1.00	1.20	1.40	1.60	1.80	2.00	2.20	2.40	2.60	2.80	3.00
y_i	0.120	0.412	0.977	1.812	2.637	3.008	2.635	1.816	0.985	0.417	0.121

Вычисляем ,

x_i	1.00	1.20	1.40	1.60	1.80	2.00
x_i²	1.00	1.44	1.96	2.56	3.24	4.00
z_i	2.1203	0.8867	0.0233	-0.5944	-0.9696	-1.1013

x_i		2.20	2.40	2.60	2.80	3.00
x_i²		4.84	5.76	6.76	7.84	9.00
z_i		-0.9689	-0.5966	0.0151	0.8747	2.1120

Составляем условные уравнения ():

Нормальные уравнения

Их решение:

отсюда , , .

Итак .

Если случайные ошибки измерений удовлетворяют нормальному закону распределения, то применение принципа Лежандра дает наиболее вероятные значения неизвестных.

Если вычислена сумма квадратов невязок , то средняя погрешность одного условного уравнения s:

, (m – число уравнений, n – число неизвестных) [6]

вычисляют еще и для того, чтобы найти грубо ошибочные условные уравнения (если они есть). Если какое-либо , то вероятно в соответствующем условном уравнении есть грубая ошибка, такие уравнения отбрасывают. После это заново составляют нормальные уравнения и повторяют решение.