Сложная функция. Производная сложной функции

Сложной функцией обычно называют функцию от функции. Если переменная у является функцией от u: у=f(u), а u, в свою очередь, - функцией от x: u=u(x), то у является сложной функцией от х, то есть y=f(u(x)).

В таком случае говорят, что у является сложной функцией независимого аргумента х, а u называют промежуточным аргументом.

Например, если - сложная функция, которая определена только при тех значениях х, для которых , то есть при (промежуточный аргумент u=x-2).

Производная сложной функции. Если функция u(x) имеет производную в точке х₀, а функция f(u) – производную в точке u₀ = u(x₀), то сложная функция

y=f(u(x)) также имеет производную в точке x₀, причем

Таким образом: Производная сложной функции y=f(u(x)) равна произведению производной данной функции у=f(u) по промежуточному аргументу u (обозначается ) на производную промежуточного аргумента u=u(x) по независимому аргументу х (обозначается ).