Функции выживания и интенсивность смертности

Неопределенность или непредсказуемость момента смерти, заболевания, аварии является основным источником случайности при страховании, что позволяет использовать случайные события, величины, процессы при математическом анализе различных аспектов страхования жизни, здоровья, автомобиля и т.п. Очевидно, что относительно момента смерти конкретного человека, как правило, трудно сказать что-либо определенное. Однако, если рассматривается достаточно большая однородная группа людей, то для нее уже будут справедливы закономерности, присущие массовым случайным явлениям, например, устойчивость частот, сходимость к нормальному или пуассоновскому законам распределения и так далее. Поэтому, привлекая терминологию теории вероятностей, можно говорить о продолжительности жизни как о случайной величине, которая принимает только положительные значения.

Одной из основных характеристик в актуарной математике является функция выживания , означающая долю лиц из некоторой условной совокупности, доживающих до возраста x.

Конечно, - не что иное, как вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.

Продолжительность жизни T для произвольно выбранного лица естьслучайная величина. Факт достижения им возраста x записывается в виде неравенства , а вероятность - в виде

Дополнение до 1, то есть функция

называется функцией распределенияпродолжительности жизни. Вероятностный смысл ее описывается равенством

то есть это вероятность того, что данное родившееся лицо не доживет до возраста x.

В страховании часто используют условные случайные величины и соответствующие распределения. Пусть – остаточное время жизни для произвольного выбранного лица возраста x, то число

будет условной вероятностью

дожития до возраста x+t лет для лица, имеющего возраст x лет. Используя элементарные тождества теории вероятностей, можно показать, что

.

Соответственно условная вероятность смерти лица возраста x в промежутке есть

.

Тогда доля лиц, умирающих в единицу времени в этом промежутке, есть

Величина характеризуетинтенсивность смерти лиц, достигших возраста x. Переходя к пределу, получим:

(12)

предел

называют производной функции в точке x.

Величина называется интенсивностью (силой) смертности в возрасте x. Это важная характеристика процесса вымирания данной группы населения.

Величины и , являются взаимопределяемыми:

.

С другой стороны это равенство означает, что

или

и, наконец,

, т.к. .

Так же выводим уравнение для условной функции выживания

.

Из данного равенства следует:

,

а так как на основании (12)

, то

.

Отсюда получаем, что

или .

Поскольку

и ,

то

и

Вышеприведенные формулы относятся к вероятностнымфункциям дожития и .

Часто вместо них рассматривается функция

и ,

относящаяся к некоторым исходным совокупностям .