Таблицы смертности

Таблица смертности представляет собой набор столбцов, которые соответствуют различным демографическим показателям. Элементы этих столбцов упорядочены по возрасту. Первым в таблице смертности обычно приводится число людей, доживающих до возраста x:

Это число относится к фиксированному числу родившихся, обозначаемому и называемому корнем таблицы смертности. Обычные значения для : 1 млн., 10 или 100 тыс., но оно может быть и произвольным. Таким образом, если - число родившихся, то означает, что лишь 98729 из них доживут до своего первого дня рождения, а число

означает, что лишь 98645 доживут до своего второго дня рождения и так далее

Таблицы смертности заканчиваются строкой, соответствующей предельномувозрасту.

В разных таблицах этот возраст может быть различным. Чаще всего это 90, 100, 110 лет.

Отметим, что вследствие различия в средней продолжительности жизни для мужчин и женщин соответствующие показатели для них в таблицах обычно даются раздельно (приложение А).

Также важной характеристикой является , которая представляет число умерших в течение одного года после достижения ими возраста x.

Очевидно:

так как среди достигших возрастаx, каждый из них либо достигнет возраста x +1, либо умрет в течение одного года. Эта формула может быть переписана

(1)

Смысл формулы (1) состоит в том, что число умерших в возрасте x есть разность между числом доживших до возраста x и числом доживших до возраста x +1.

Приведенные соотношения касались двух смежных возрастов. Рассмотрим связи между ними для более продолжительных периодов.

Ясно, что

Общим образом можно записать

(2)

Формула (2) в предельном случае дает равенство

(3)

которое означает, что каждый из тех, кто достиг возраста x лет, умрет в возрасте от x до предельного. Формулы (2) и (3) можно перепишем в сокращенной форме:

Также очень важным показателем таблицы смертности является величина , которая означает долю умерших в течение года из числа достигших возраста x, то есть в промежутке между x и x+ 1. Тогда

Число рассмотрим как вероятность умереть в течение года для человека возраста x. Точнее число (из таблицы смертности) является статистической оценкойэтой вероятности. Дополнение до 1, то есть число

означающее долю тех из что доживут до возраста x +1. Эта величина является вероятностьюпрожить еще год после достижения возраста x.

Так как

, (4)

то

, то есть (5)

Формулы (5), (4) можно переписать в виде

или .

Аналогично

или

Рассмотрим характеристики более продолжительных периодов.

Число

есть вероятность прожить еще n лет для лица, достигшего возраста x.

Соответственно число – вероятность умереть в возрасте x+n лет.

Для вероятностей выполняется:

Для вероятности :

или

И наконец

будет означать вероятность для лица возраста x, умереть в промежутке между x+m и x+m+n.

Очевидно, что

Пусть – число лиц из группы N человек возраста x, которые погибнут в течение года.

или (6)

Формула (6) показывает эмпирическую оценку . Для достаточно большой группы людей (то есть если N велико) равенство (6) будет выполняться с большей степенью вероятности (закон больших чисел), поэтому число можно считать хорошей оценкой для ожидаемого числа тех достигших возраста x, кто умрет в течение года. Аналогично число есть ожидаемое число лиц из совокупности N достигших возраста x, которые умрут в течение n лет, а число есть ожидаемое число тех из N лиц, что доживут до возраста x+n.

Существует множество методов построения таблиц смертности. Основное различие этих методов состоит в выборе базовогопоказателя, на основании которого вычисляются все остальные. Чаще всего в качестве базового показателя берется , то есть вероятность смерти в течение года после достижения возраста x. Этот показатель оценивается исходя из имеющихся статистических данных. Это далеко не тривиальная задача, и о некоторых связанных с ней трудностях будет сказано ниже. Оценив , можно получить все остальные показатели.

Задавшись определенным начальным возрастом и соответствующим значением корня таблицы , последовательно вычисляют

(7)

(8)

для x = a, a+1, …,w.

Если же исходными являются не вероятности смерти , а вероятности дожития , то ряд значений для можно получить по формулам

, , для .

Можно, конечно, сначала вычислить по формуле

а потом применить формулы (7) и (8).

Вычисленные значения округляются, как правило, до ближайшего целого числа. Для достижения необходимой точностив качестве корня таблицы берут достаточно большое число (10 тыс., 100 тыс. и так далее).

Таблицы, строящиеся на основании переписи, как правило, полные и охватывают весь диапазон возрастов, начиная с 0. Таблицы, основанные на специальном статистическом учете, например, в страховых компаниях, пенсионных фондах, могут иметь и другие значения начального возраста .

Иногда, особенно при построении специальных таблиц, корень таблицы помещается в "середину", то есть значения и относятся к "промежуточным". В этом случае процесс вычисления идет в двух направлениях: к младшим и старшим возрастам. При этом значения и для старших возрастов получаются по формулам, приведенным выше, а для младших возрастов применяются формулы

, (9)

, (10)

если исходный показатель . Если же в качестве исходного взят , то, получив сначала

применяют формулы (9) и (10).

Таким образом, центральным моментом при построении таблиц смертности на основе показателей или является получение их оценки на основании статистических данных. При использовании прямого метода эта оценка строится непосредственно на определении этих вероятностей, например, для по формуле:

Применение такого метода в жизни наталкивает на некоторые трудности. Дело в том, что так называемая совокупность (когорта) лиц должна родиться в одно и то же время, поэтому реальное наблюдение за такой группой лиц и построение таблицы на основе этого наблюдения является затруднительным, а то и невозможным. То есть таблица смертности должна полностью отражать процесс вымирания какого-либо поколения людей. В демографии такой метод получил название когортного.

Когортный метод является не только трудным для применения, но и искаженным в результате миграций, изменения рождаемости и смертности в виду условий окружающей среды, а также других демографических или экологических событий.

Поэтому на практике статистические данные и получаемые на их основе оценки относятся нек совокупности ровесников, а к совокупности современников, включающей лица различных возрастов. Поскольку в населении в любой момент есть лица любого возраста, то можно получить показатели для полного диапазона возрастов (от 0 до предельного). При этом полученные данные интерпретируются так, как если бы они относилиськнекоторому поколению. Такое поколение называется в демографии условным или гипотетическим, а основанный на описанной выше интерпретации метод изучения демографических процессов называют поперечным анализом.

При построении таблиц смертности на основе вероятностей оценку этих величин можно получить путем преобразования возрастных коэффициентов смертностей. Эти коэффициенты получаются на основе статистических данных. Таким образом, данные поперечного анализа основываются на реальном поколении. Корректность такого переноса зависит от ряда условий, относящихся к состоянию и динамике демографических процессов. Обычно эти условия формулируются в виде соответствующих гипотез, выполняющихся в реальности лишь частично.

Одна из них – гипотеза стационарного населения, согласно которой смертность и рождаемость для того или иного населения являются постоянными. Разумеется, реальное население не будет являться стационарным, но в случаях, когда наблюдается устойчивая демографическая ситуация, можно считать население приближенно стационарным.

Так для стационарного населения есть число лиц, достигающих ежегодновозраста x. Число есть число лиц, умерших в возрасте между x и x +1. А показатель равен числу лиц, возраст которых в данный момент находится в промежутке .

Совокупность чисел характеризует возрастную структуру населения в данный момент времени. Согласно гипотезе стационарного населения эти числа не меняются со временем.

Если будем считать, что смерти распределены равномерно в промежутке (30,31), то

Аналогичные рассуждения для других возрастных групп позволяют сделать общий вывод, что

Или

Обозначим теперь через отношение числа умерших в возрасте между x и x +1 к числу живых лиц этого же возраста. Тогда

Коэффициент – это центральный коэффициент смертности.

Отметим, что измеряется по возрастному промежутку, а по календарному году.

Поскольку

то .

Деля числитель и знаменатель правой части на получим

или

Аналогично подстановкой в равенство выражения

Получим

. (11)

Последнее равенство и является исходным при вычислении по статистическим данным. На практике сначала вычисляется , затем по формуле (11) , и, наконец, методом, описанным в начале параграфа, получают остальные показатели таблицы.