Кусочно-линейный агрегат

В 60-х годах Н. П. Бусленко и И. Н. Коваленко [11, 24, 47] ввели класс моделей сложных систем, названных ими агрегативными. Основным элементом построения таких моделей был кусочно-линейный агрегат (КЛА). Эти модели обладают рядом привлекательных свойств, позволяющих использовать их в рамках общей схемы исследования сложных систем. В работах отечественной научной школы [11] интенсивно исследовались их структурные и поведенческие свойства, создана имитационная система АИС (агрегативная имитационная система), базирующаяся на понятии агрегативной модели.

Будем рассматривать приводимые ниже определения и конструкции в форме, максимально приближенной к их программной реализации.

Дадим сначала определение кусочно-линейный агрегата (КЛА).

КЛА относится к классу объектов, которые принято изображать в виде преобразователя (рис. 4.3.1), функционирующего во времени t! Т= [0, 3) и способного воспринимать входные сигналы х со значениями из некоторого множества X, выдавать выходные сигналы у со значениями из множества Y и находиться в каждый момент времени в некотором состоянии z из множества Z.

Рисунок 4.3.1 Общий вид преобразователя

Класс КЛА отличает специфика множеств X, Y, Z, допустимые формы входных и выходных сообщений (т. е. функций х (t)и у (t), t Î Т), траекторий z(t), t Î Т, а также способ преобразования входного сообщения в выходное. Приступим к указанной выше конкретизации КЛА.

Прежде всего отметим, что динамика КЛА носит "событийный" характер.

В КЛА могут происходить события двух видов: внутренние и внешние. Внутренние заключаются в достижении траекторией КЛА некоторого подмножества Z* Ì Z состояний; внешние — в поступлении входного сигнала.

Между событиями состояние КЛА изменяется детерминированным образом. Каждому состоянию z ставится в соответствие величина x= x (z), трактуемая как потенциальное время до наступления очередного внутреннего события. Cостояние КЛА в момент t* — наступление события является случайным.

В момент t* наступления внутреннего события, выдается выходной сигнал у*, содержание которого зависит лишь от z*. (В частности, выходной сигнал может быть и пустым, т. е. не выдаваться). После случайного скачка t(z)вновь определяется время до наступления внутреннего события.

Рассмотрим теперь момент t** наступления внешнего события, связанного с поступлением входного сигнала. Тогда состояние КЛА в момент t** является случайным, зависящим лишь от х и z**. В момент t**, выдается выходной сигнал у **, содержание которого определяется х и z**.

(Условимся считать, что если моменты наступления внешнего и внутреннего событий совпадают, то изменение состояния осуществляется в соответствии с правилом наступления внешнего события, т. е. входные сигналы имеют приоритет над внутренними событиями).

Таким образом, динамику КЛА можно представить в следующем виде. Пусть в некоторый момент задано состояние КЛА. Тогда определяется время t(z), через которое совершается случайный скачок, и меняется состояние. Начиная с момента наступления события (внешнего или внутреннего), ситуация повторяется, и динамику КЛА можно описать в виде задания фазовой траектории изменения состояний z (t), определенной на
t Î Т = [0, ¥). Процесс функционирования КЛА полностью определяется изменениями, происходящими в особые моменты времени — моменты наступления событий (внешних или внутренних). Между особыми моментами состояние КЛА меняется детерминированно.

Опишем теперь КЛА более подробно.

КЛА внешне имеет вид многополюсника с m входными клеммами и n выходными клеммами (рис.4.3.2). Отметим, что в общем случае для различных КЛА m ≠ n.

Рисунок 4.3.2 — Кусочно-линейный агрегат.

Предположим, что в состав множеств Xi и Yj включены и фиктивные элементы 0, наличие которых на входе или выходе КЛА означает отсутствие сигнала на соответствующей входной или соответственно выходной клемме.

Следовательно, входной сигнал на КЛА имеет вид

х= (x ₁, х ₂,..., х_m),

а выходной

y = (y ₁, y ₂, …, y_n).

Рассмотрим, на чем основана программная реализация агрегативных моделей. Не фиктивными входными х_i, или выходными y_i сигналами, а также состояниями z КЛА являются данные. Данными считаются: элементарные данные; списки данных; массивы данных; структуры данных. Элементарными данными считаются: целые числа; действительные числа; символьные переменные. Здесь термины "список", "массив" употребляются в их обычном смысле. Понятие структуры данных соответствует дереву, на корнях которого размещены данные. Каждое данное имеет свое имя. Рассматриваемые данные хорошо отображают содержательные представления, существующие у исследователя относительно реальных объектов, и существенно облегчают процесс построения модели. Эти данные удобны как с математической, так и с программной точек зрения.

Пусть состояние z КЛА определено как некоторая структура данных. Тем самым фиксирован вид дерева, представляющего эту структуру.

Дерево базируется в конечном счете на элементарных данных. Обозначим через I_z элементарные данные, входящие в состояние z и имеющие тип целых чисел и символов, а через R_z, -элементарные данные, имеющие действительный тип. Предположим, что значения и состав элементарных данных могут меняться лишь в особые моменты времени, а между ними остаются постоянными. Разобьем множество R_z на два подмножества , где состоит из положительных величин, a -из неположительных. Будем считать, что данные из подмножества остаются неизменными между особыми моментами времени и что моменты наступления внутренних событий определяются лишь данными из. Это отвечает обычно используемой "энергетической интерпретации" причин наступления внутренних событий в моменты, когда исчерпывается некоторый ресурс, оканчивается операция и т. д. Таким образом, внутреннее событие происходит, когда хотя бы один из положительных элементов множества обращается в нуль.