Крутое восхождение по поверхности отклика

Одним из традиционных методов поиска оптимума (максимума) является метод покоординатного подъема. Как показано на рисунке 7.7.2, если зафиксировать x ₂ и варьировать х ₁то мы можем найти максимум по х₁ при фиксированном значении х ₂. Зафиксировав х₁ в найденной точке максимума, будем искать максимум по x ₂. B случае поверхности отклика как на рисунке 7.7.2, этот метод за два шага приведет в близкую к оптимуму точку. Однако в случае поверхности вида рисунка 7.7.3 этот метод не приведет в точку оптимума. Обычно вид поверхности отклика неизвестен, поэтому желательно иметь такой метод поиска оптимума, который работал бы при неизвестной форме поверхности отклика.

Наиболее часто используется в МПО так называемый метод наискорейшего подъема — крутого восхождения. Наиболее короткий путь к вершине направление градиента функции отклика, на рисунке 7.7.6. — это направление Q, перпендикулярное линиям уровня. Это так называемый градиентный метод поиска оптимума. Вы знаете, что, градиент непрерывной однозначной функции

Y_i = b ₀ + b ₁ Х_{i 1} + b ₂ X_{i 2} +… + b_kX_ik + e_i (i = 1, …, N)

есть частная производная функции Y

.

Составляющие градиента суть частные производные функции отклика, оценками которых являются коэффициенты регрессии.

Основная идея метода состоит в построении линейной аппроксимации поверхности отклика в окрестности данной точки с помощью простого факторного эксперимента. По построенной линейной функции определяется направление наискорейшего подъема к точке оптимума -в направлении градиента функции отклика. По этому направлению делается небольшой шаг, затем повторяется процедура определения направления наискорейшего подъема и т.д.

Этот метод не позволяет определять длину шага (длина шага определяется экспериментатором, она не должна быть очень большой, чтобы не проскочить оптимум, и не должна быть очень маленькой -чтобы не проводить большое количество шагов), однако показывает направление движения.

Рассмотрим пример, приведенный на рисунке 7.7.6.

Рисунок 7.7.6 — Контуры отклика с изображением 2'-факторного плана.

Предположим, что исследователь провел в точке Р эксперимент с 2² комбинациями плюс два наблюдения в центре. Эксперимент позволил оценить a ₀, а ₁и а ₂определяющие наклон плоскости аппроксимации, и вычислить направление наискорейшего возрастания или максимального наклона плоскости. Это направление показывает относительные величины изменения факторов, обеспечивающие увеличение отклика. Продвинувшись по этому направлению до некоторой точки Q, следует повторить всю процедуру.

Такая пошаговая процедура позволяет достигать все больших и больших откликов.

Итак, изменяя независимые переменные пропорционально коэффициентам регрессии (с учетом их знаков), мы будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути. Поэтому процедура движения к почти стационарной области называется крутым восхождением.