Пример 4.22 Функции распределения случайных величин

Пусть в моделируемой системе время обслуживания некоторым устройством распределено равномерно на интервале А ± 2, где сред­нее время обслуживания А с вероятностью 0,4 принимает значение 5, а с вероятностью 0,6 - значение 7. Эту ситуацию можно смоделиро­вать следующим образом.

Определим функцию AVERAGET:

AVERAGET FUNCTION RN1,D2

.4,5/1,7

Используем ее в блоке ADVANCE:

ADVANCE FN$AVERAGET,2

Выполнение подпрограммы блока ADVANCE включает расчет функции AVERAGET. Это, в свою очередь, требует обращения к ге­нератору случайных чисел RN1. Пусть генератор выдал значение меньшее, чем 0,4. Тогда соответствующее значение функции AVERAGET равно 5. Таким образом, время задержки текущего тран­закта в устройстве будет равномерно распределено на интервале 5±2.

Непрерывные случайные переменные, рассматриваемые как дискретные. Как известно, дискретные случайные переменные могут принимать только фиксированное число значений. В противо­положность этому, непрерывные (в классическом смысле этого тер­мина) случайные переменные могут иметь неограниченное число различных значений.

На практике обычно достаточно, чтобы все случайные перемен­ные имели конечное число конкретных значений. Нет необходимости в тщательном определении значений этих случайных переменных, за исключением случаев, когда необходимо делать расчеты с высокой степенью точности. Таким образом, вполне возможна дискретизация непрерывных распределений. После этого они могут быть определе­ны в GPSS с помощью дискретных и непрерывных GPSS-функций (непрерывные GPSS-функции по сути также являются дискретными, поскольку множество их значений дискретно и конечно).

Функции распределения случайных величин. В языке GPSS возможность задания функций распределения случайных величин ог­раничена заданием их в табличном виде путем аппроксимации непре­рывными функциями. Поэтому можно задать только те функции, ко­торые легко преобразовать для новых значений параметров. К таким функциям, например, относится функция экспоненциального распре­деления с параметром , а также функция стандартного нормаль­ного распределения с математическим ожиданием и стандарт­ным отклонением .

Эти ограничения не касаются языка GPSS World, в котором для задания различных вероятностных функций распределения можно использовать библиотечные процедуры, написанные на языке PLUS. Однако использование вероятностных распределений в табличном виде значительно ускоряет процесс моделирования.

Моделирование пуассоновского потока. Рассмотрим таблич­ный способ задания пуассоновского потока заявок. Пуассоновский входящий поток описывается таким образом: вероятность поступле­ния k заявок пуассоновского потока в течение интервала t составляет

(4.1)

где - интенсивность потока.

Интервалы времени между соседними заявками пуассоновского потока распределены по экспоненциальному закону. Согласно ме­тоду обратной функции, можно получить ряд чисел, которые имеют экспоненциальное распределение, если ряд случайных чисел R, рав­номерно распределенных на интервале [0,1], преобразовать в соот­ветствии с функцией, обратной к экспоненциальной функции распре­деления:

(4.2)

где - j -й разыгранный интервал времени поступления; - средний интервал времени поступления; - j -e число в последова­тельности случайных чисел R с равномерным распределением на ин­тервале [0, 1].

Разработчиками GPSS была осуществлена аппроксимация функции , обратной к экспоненциальной функции распределе­ния с параметром . Таким образом, функция была заме­нена 23 отрезками, которые использовались для преобразования значений RNj в значение - ln(RNj).

Функция XPDIS определяет экспоненциальное распределение с интенсивностью :

XPDIS FUNCTION RN1,C24; exponential distribution function

L,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.509/.5,.69/.6,.915/.7,1.2/.75,1.38/.8,1.6/.84,1.83/.88,2.12/.9,2.3/.92,2.52/.94,2.81/.95,2.99/.96,3.2/.97,3.5/.98,3.9/.99,4.6/.995,5.3/.998,6.2/.999,7/.9998,8

Пуассоновский входящий поток с интенсивностью , отличной от единицы, моделируется с помощью блока GENERATE таким об­разом:

1) в качестве операнда А используют среднее значение ин­тервалов времени , где - интенсивность пуассо­новского потока; 2) в качестве операнда В используют СЧА - значение функции XPDIS, операторы определения и описания которой приведены выше.