Пример 4.23 Моделирование гипер- и гипоэкспоненциального распреде­лений

Пусть среднее значение интервалов поступления Т в пуассонов­ском потоке требований равно 2 ч, а единица времени в модели равна 1 мин, тогда поступление заявок моделируется блоком:

GENERATE 120,FN$XPDIS

Если необходимо моделировать задержку, распределенную по экспоненциальному закону со средним значением времени 345, то для этого используется блок:

ADVANCE 345,FN$XPDIS

Свойство ординарности пуассоновского потока гла­сит: вероятность поступления двух или более заявок в тече­ние малого временного интервала равна нулю.

Пусть пуассоновский поток моделируется блоком

GENERATE 5,FN$XPDIS

Если в результате обращения к функции XPDIS полученное зна­чение меньше, чем 1/5, то целая часть произведения числа 5 и значе­ния функции XPDIS равна нулю. Отсюда следует нарушение свойст­ва ординарности. Во избежание этого рекомендуется, чтобы операнд А в блоке GENERATE был больше 50. Это легко достигается путем варьирования значения единицы модельного времени.

Моделирование гипер- и гипоэкспоненциального распреде­лений.

Экспоненциальную функцию распределения можно использо­вать также для моделирования гипер- и гипоэкспоненциального рас­пределений.

Неэкспоненциальное распределение с коэффициентом вариа­ции { Коэффициент вариации С - это отношение стандартного отклонения к математическому ожиданию случайной величины.} С > 1 можно получить с помощью взвешенной суммы экспонент - гиперэкспоненциального распределения:

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Если для всех i, то С = 1 — имеем экспоненциальное рас­пределение.

Гиперэкспоненциальное распределение можно получить при параллельном соединении k (рис. 4.6) экспоненциальных обслужи­вающих устройств с интенсивностью обслуживания и вероятно­стью , использования для обслуживания (). Причем в произ­вольный момент времени может быть занято не более одного устрой­ства из k.

Такое распределение хорошо описывает распределение времени работы центрального процессора компьютера.

Рис. 4.6

Для моделирования гиперэкспоненциального распределения со средним значением 6,28 и стандартным отклонением 8,4 необходимо определить переменную

HYP FVARIABLE (410+(RN2 'L1 234)(#(1334 -410)))#FN$XPDIS

Эту переменную можно использовать в блоке задержки так:

ADVANCE V$HYP

Гипоэкспоненциольное распределение с коэффициентом ва­риации С <1 описывается таким образом:

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

При равенстве всех коэффициентов распределение времени пребывания в обслуживающем центре (на рис. 4.7 обведен пунктир­ной линией) будет k-распределением Эрланга:

(4.11)

Гипоэкспоненциальное распределение характерно, например, для времени обслуживания устройств ввода-вывода. Его можно по­лучить последовательным соединением обслуживающих экспонен­циальных устройств, причем в любой момент времени должно быть занято не более одного устройства (рис. 4.7).

Моделирование эрланговского потока. Экспоненциальное Распределение не всегда адекватно описывает время обслуживания и поступления требований в систему. Более реалистичным является Распределение Эрланга. В то же время, это распределение является Частньщ случаем гамма-распределения, которое описано ниже. Для пoтока Эрланга k -го порядка с интенсивностью математическое ожидание и дисперсия определяются так: . Для моделирования распределения Эрланга может также использоваться экспоненциальная функция распределения. Как было показано в гла­ве 1, для этого достаточно просуммировать k случайных экспоненци­ально распределенных величин. С ростом k распределение Эрланга будет приближаться к нормальному распределению. Например, поток Эрланга второго порядка со средним значением времени поступления 180 можно задать таким образом:

GENERATE,„1

SDFG ADVANCE 90,FN$EXPDIS

ADVANCE 90,FN$EXPDIS