Пример 4.22 Функции распределения случайных величин

Пусть в моделируемой системе время обслуживания некоторым устройством распределено равномерно на интервале A ± 2, где сред­нее время обслуживания A c вероятностью 0,4 принимает значение 5, a c вероятностью 0,6 – значение 7. Эту ситуацию можно смоделиро­вать следующим образом.

Определим функцию AVERAGET:

Используемее в блоке ADVANCE:

ADVANCE FN$AVERAGE_T,2

Выполнение подпрограммы блока ADVANCE включает расчет функции AVERAGE_T. Это, в свою очередь, требует обращения к ге­нератору случайных чисел RN1. Пусть генератор выдал значение меньшее, чем 0,4. Тогда соответствующее значение функции AVERAGE_T равно 5. Таким образом, время задержки текущего транзакта в устройстве будет равномерно распределено на интервале 5±2.

Непрерывные случайные переменные, рассматриваемые как дискретные. Как известно, дискретные случайные переменные могут принимать только фиксированное число значений. В противо­положность этому, непрерывные (в классическом смысле этого тер­мина) случайные переменные могут иметь неограниченное число различных значений.

На практике обычно достаточно, чтобы все случайные перемен­ные имели конечное число конкретных значений. Нет необходимости в тщательном определении значений этих случайных переменных, за исключением случаев, когда необходимо делать расчеты c высокой степенью точности. Таким образом, вполне возможна дискретизация непрерывных распределений. После этого они могут быть определе­ны в GPSS c помощью дискретных и непрерывных GPSS-функций (непрерывные GPSS-функции по сути также являются дискретными, поскольку множество их значений дискретно и конечно).

Функции распределения случайных величин. В языке GPSS возможность задания функций распределения случайных величин ог­раничена заданием их в табличном виде путем аппроксимации непре­рывными функциями. Поэтому можно задать только те функции, ко­торые легко преобразовать для новых значений параметров. К таким функциям, например, относится функция экспоненциального распре­деления c параметром λ = 1, А также функция стандартного нормаль­ного распределения c математическим ожиданием т = 0 и стандарт­ным отклонением σ = 1.

Эти ограничения не касаются языка GPSS World, в котором для задания различных вероятностных функций распределения можно использовать библиотечные процедуры, написанные на языке PLUS. Однако использование вероятностных распределений в табличном виде значительно ускоряет процесс моделирования.

Моделирование пуассоновского потока. Рассмотрим таблич­ный способ задания пуассоновского потока заявок. Пуассоновский входящий поток описывается таким образом: вероятность поступле­ния k заявок пуассоновского потока в течение интервала t составляет

где λ – интенсивность потока.

Интервалы времени между соседними заявками пуассоновского потока распределены по экспоненциальному закону. Согласно ме­тоду обратной функции, можно получить ряд чисел, которые имеют экспоненциальное распределение, если ряд случайных чисел R, рав­номерно распределенных на интервале [0,1], преобразовать в соот­ветствии c функцией, обратной к экспоненциальной функции распре­деления:

где t_j – j -й разыгранный интервал времени поступления; – средний интервал времени поступления; r_j – j-e число в последова­тельности случайных чисел R c равномерным распределением на ин­тервале [0, 1].

Разработчиками GPSS была осуществлена аппроксимация функции F^-1 (x), обратной к экспоненциальной функции распределе­ния c параметром λ = 1. Таким образом, функция F^-1 (x) была заме­нена 23 отрезками, которые использовались для преобразования значений RNj в значение – ln(RNj).

Функция XPDIS определяет экспоненциальное распределение c интенсивностью λ = 1:

Пуассоновский входящий поток c интенсивностью λ, отличной от единицы, моделируется c помощью блока GENERATE таким об­разом:

1) в качестве операнда А используют среднее значение ин­тервалов времени T= 1/ λ, где λ – интенсивность пуассо­новского потока;

2) в качестве операнда В используют СЧА – значение функции XPDIS, операторы определения и описания которой приведены выше.