Винтовая неустойчивость в системах типа «токамак»

Рассмотрим теперь винтовую неустойчивость применительно к установке типа «токамак». В токамаке тороидальное поле (в случае цилиндра с отождествленными концами поле в направлении оси z) существенно превышает полоидальное, . Плазма занимает центральную часть цилиндра, . Вакуум занимает область . Следовательно, в энергетический принцип должен включать энергию поверхности и вакуумной области. Энергия поверхности имеет вид

. (3.5.1)

Из условия равновесия имеем:

. (3.5.2)

На границе «плазма-вакуум» полоидальное магнитное поле непрерывно, производная также непрерывна, то есть

. (3.5.3)

Подставляя (3.5.3) в (3.5.1), находим, что

. (3.5.4)

Вычислим теперь вклад от вакуумной области

. (3.5.5)

В вакуумной области магнитное поле можно представить как градиент скалярной функции , . Разлагая в ряд Фурье по и , получаем

При интегрировании по и остаются только те члены, для которых . Тогда

. (3.5.6)

Введем величину . Подставляя это выражение в (3.5.6), получаем

. (3.5.7)

Таким образом, функции и являются решениями уравнений Эйлера:

(3.5.8)

(3.5.9)

Решение уравнения (3.5.9) c граничным условием таково:

(3.5.10)

В пределе выражение (3.5.10) упрощается:

, (3.5.11)

а функционал, отнесённый к единице длины системы, принимает вид

. (3.5.12)

Пусть в цилиндре с отождествлёнными концами на одном периоде укладывается периодов возмущения. Тогда , и

. (3.5.13)

В результате получаем функционал в следующем виде:

(3.5.14)

Здесь

;

Первый член в правой части (3.5.14) отрицателен, если , или

. (3.5.15)

Учитывая (3.5.2), функцию можно переписать так:

Оценим теперь вклад в последнего (интегрального) члена. Пусть . Тогда обе функции и имеют порядок , и последним членом в (3.5.14) можно пренебречь. В этом случае величина становится отрицательной, если

, (3.5.16)

и любое начальное возмущение нарастает. Скорость нарастания возмущения можно оценить, используя уравнение (2.2.3). В фурье-представлении , где – инкремент неустойчивости. С помощью (2.3.3) получаем

. (3.5.17)

Здесь .

Максимальную величину инкремента по порядку величины можно оценить так:

. (3.5.18)

Легко видеть, что этот инкремент по порядку величины равен отношению альфвеновской скорости к радиусу плазмы и может составлять в токамаке по порядку величины 10^-8 с, то есть развитие такой неустойчивости является одним из наиболее быстрых процессов.

Пусть теперь . Тогда функция может быть порядка единицы в некоторой области значений :