Винтовая неустойчивость

Более общим случаем возмущений цилиндрической плазменной конфигурации является винтовое возмущение. Идеальную винтовую моду в иностранной литературе называют «kink mode». Будем в этом разделе следовать монографии [3].

Для анализа таких возмущений вернемся к достаточно общему уравнению (2.1.31). Напомним, что это уравнение описывает идеальную плазму, то есть плазму с бесконечной проводимостью. Как и в предыдущем разделе, градиент давления и ток в плазме (за исключением тока по поверхности) равны нулю. Такое распределение тока имеет место в пинчах:

(3.3.1)

Будем рассматривать несжимаемую плазму

. (3.3.2)

Тогда уравнение (2.1.31) существенно упрощается:

. (3.3.3)

Ищем решение этого уравнения в виде

. (3.3.4)

Так как смещение зависит от радиуса-вектора, волновой вектор является оператором,

. (3.3.5)

Подставляя это выражение в (3.3.2) и учитывая, что , окончательно получаем

. (3.3.6)

Умножим это уравнение скалярно на . В силу (3.3.2) левая часть полученного равенства обращается в ноль. Правая часть обращается в ноль, если

. (3.3.7)

Мы предположили, что , где m – целое число.

Общим решением уравнения (3.3.7) является линейная комбинация модифицированной функции Бесселя и функции Кельвина:

, (3.3.8)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Функция K_m расходится в нуле, поэтому С₁ = 0. Выражая C₂ через , имеем

. (3.3.9)

Подставим в радиальную компоненту уравнения (3.3.6), имея в виду, что радиальная составляющая волнового вектора является оператором, .

. (3.3.10)[1]

Штрих означает производную по аргументу. Это решение должно быть «сшито» с решением в вакуумной области, где rot H = 0. Следовательно, магнитное поле может быть представлено как градиент некоторой функции . Тогда уравнение div H = 0переходит в уравнение Лапласа, решение которого снова имеет вид (3.3.8). Но во внешней области при , поэтому С₁ = 0. В результате

. (3.3.11)

На границе плазмы должно выполняться условие (2.1.38). При условии несжимаемости оно приводится к виду

. (3.3.12)

Из (2.1.27) находим

, (3.3.13)

а для возмущения поля во внешней области

. (3.3.14)

Подставляем эти выражения в (3.3.12):

. (3.3.15)

Еще одно краевое условие – это обращение в ноль на границе тангенциальной составляющей электрического поля в системе отсчета, движущейся вместе с плазмой,

. (3.3.16)

Берем rot от этого уравнения, учитываем, что в линейном приближении , и используем нормальную к границе составляющую уравнения Максвелла . В результате получаем

. (3.3.17)

Интегрируем это уравнение по времени:

. (3.3.18)

Учитывая, что , это равенство можно переписать следующим образом:

. (3.3.19)

Продифференцируем по радиусу (3.3.11) и подставим в левую часть этого равенства. Отсюда находим

. (3.3.20)

Подставляя (3.3.10) и (3.3.20) в (3.3.15), получаем в результате дисперсионное уравнение

(3.3.21)

Неравенство является критерием устойчивости системы. Поскольку , второй член в правой части (так же, как и первый) – стабилизирующий. Он имеет минимум, если множитель .

Пусть , . Условие устойчивости (3.3.21) упрощается:

. (3.3.22)

Так как , мода заведомо устойчива, если . Этот случай соответствует перетяжкам и уже был рассмотрен в разделе 3.2.

Мода , – это винтовая мода, «змейки» в русскоязычной литературе или «kink-mode» в англоязычной. Рассмотрим эту моду в пределе длинных волн, . При этом для цилиндрических функций можно использовать разложение в ряд:

; .

При этом дисперсионное уравнение (3.3.21) принимает вид

. (3.3.23)

В рассмотренном случае второй член в скобках отрицателен, и плазма может быть неустойчивой.

Рассмотрим типичный для токамака случай . Снова будем исследовать предел . Разложим в ряд функции Бесселя и Кельвина:

;

для .

Здесь ; .

Дисперсионное уравнение (3.3.21) в этом приближении имеет вид

. (3.3.24)

Квадрат частоты является квадратичной формой волнового вектора (рис. 9).

Рис. 9. Качественная зависимость квадрата частоты от k_z

Значение , соответствующее минимуму этой кривой, определяет максимальный инкремент. Это достигается при значении , когда парабола достигает минимума, т. е.

. (3.3.25)

Условие устойчивости имеет вид

. (3.3.26)

Выразим это условие устойчивости через параметр .

Условие равновесия при принимает вид , что можно переписать так:

. (3.3.27)

Выражая правую часть неравенства (3.3.26) через , получаем условие устойчивости

, (3.3.28)

что в пределе дает

. (3.3.29)

Это означает, что моды и неустойчивы, остальные – устойчивы.

В реальных тороидальных системах величина ограничена снизу, , где и – длина окружности и большой радиус тороидальной системы.

В бесконечном цилиндре наиболее неустойчива мода с . В случае цилиндра с отождествленными концами на налагается ограничение , и если , то наиболее неустойчивой оказывается мода с . Для этого случая при , условие (3.3.24) можно переписать как

. (3.3.30)

Плазма устойчива, если положительна правая часть этого равенства,

.

Это условие называют условием Крускала–Шафранова, а величину – коэффициентом запаса устойчивости Шафранова.

Данное условие несколько модифицируется, если плазменный цилиндр окружён бесконечно проводящей стенкой при . В этом случае дисперсионное уравнение превращается в следующее:

. (3.3.31)

При удалении бесконечно проводящей стенки на бесконечность дисперсионное уравнение переходит в уравнение (3.3.24). При приближении стенки к границе плазмы система становится устойчивой.