2015-08-21
630
Построим общую матрицу жёсткости, для чего необходимо записать уравнения равновесия для каждого узла. Т.е. сумма всех внутренних реакций в каждом узле должна быть равна нулю. При этом следует учесть, что узлы №1 и №3 принадлежат только одному конечному элементу (соответственно первому и второму). А узлы №2 и №4 принадлежат обоим конечным элементам.
В первом элементе порядок узлов №1-2-4. Поэтому для записи уравнения равновесия первого узла используем только первые две строки матрицы [ К1 ]. Затем разделим выбранные строки матрицы [ K1 ] на несколько квадратных матриц размерностью 2х2. Поскольку узел №1 принадлежит только одному элементу, то 
, где i, j – номер строки и столбца матрицы жёсткости. Запишем все силы, действующие в узле №1.
(13)
Нулевая матрица для перемещений третьего узла взята потому, что узел №3 не входит в первый конечный элемент.
Узел №2 принадлежит двум конечным элементам, поэтому его матрица жёсткости записывается сложнее. Для её записи воспользуемся третьей и четвёртой строками матрицы [ К1 ] и первой и второй строками матрицы [ K2 ], соответствующих узлу №2. Значения коэффициентов в матрицах сложим с учётом порядка узлов в элементах. Запишем матрицу сначала в общем виде
|
|
|
(14)
Затем через коэффициенты матриц К1 и К2.
(15)
Нули в первой матрице записаны потому, что узел №1 не входит во второй конечный элемент, аналогично, нули в третьей матрице объясняются тем, что узел №3 не входит в первый конечный элемент.
Аналогично получим уравнения для узлов №3 и №4.
Узел №3:
Узел №4:
Тогда разрешающая система уравнений запишется в виде
(16)
Поскольку в первых четырёх уравнениях перемещения равны нулю, достаточно решить последние четыре уравнения, чтобы найти перемещения всех узлов, а затем из первых четырёх уравнений найти неизвестные реакции.
Умножив по правилам матрицу [ К ] на вектор { q }, получим
Систему из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными решим Методом Крамера
Затем из первых четырёх уравнений определим неизвестные реакции Nx1, Ny1, Nx2, Ny2.
