Задача 12

Фермерское хозяйство планирует выращивать картофель, капусту и морковь. Для ведения производства имеются запасы минеральных удобрений в количестве (ц.д.в.):

азотные – 110;

фосфорные – 75;

калийные – 150

Площадь фермерского хозяйства 120 га.

Расход минеральных удобрений на единицу площади и денежная выручка с 1 га овощей представлены в таблице.

Таблица 66 – Производственно-экономические показатели выращивания овощей.

Показатели	Культуры
картофель	капуста	морковь
Расход минеральных удобрений на 1 га, ц.д.в.: азотных		1,25
фосфорных	0,5	1,2
калийных	1,25	1,5
Денежная выручка с 1 га, у.д.ед.

Рассчитать оптимальную структуру посевов, которая обеспечит по хозяйству максимальную денежную выручку.

В прямой задаче выделим 3 переменные:

X₁ – площадь картофеля, га

X₂ – площадь капусты, га

X₃ – площадь моркови, га.

Тогда экономико-математическая модель имеет вид:

F_max= 200X₁ + 250X₂ + 320X₃

Составим исходную симплексную таблицу:

Таблица 67 – Исходная симплексная таблица задачи 12

БП	СЧ	НБП
X1	X2	X3
Y1			1,25
Y2		0,5	1,2
Y3		1,25	1,5
Y4
Fmax		-200	-250	-320

Начальный план оказался сразу опорным. В результате двух переходов получен оптимальный план. Реализация оптимального плана позволит получить по хозяйству 26800 единиц денежной выручки.

Таблица 68 – Оптимальный план задачи 12

БП	СЧ	НБП
Y1	X2	Y2
X1			0,1	-2
X3		-1	1,15
Y3	22,5	-1,5	0,225	0,5
Y4		-1	-0,25
Fmax

Для этого площадь картофеля и моркови должна составить 70 и 40 га, соответственно. При этом азотные и фосфорные удобрения полностью расходованы (Y₁, Y₂ = 0). Напротив, остаток калийных удобрений составит 22,5 ц. Кроме того, часть земельных ресурсов (Y₄ = 10) не будет использована.

Предположим, что фермерское хозяйство не планирует заниматься производственной деятельностью. Поэтому, имеющиеся ресурсы необходимо реализовать и, при этом, - получить денежную выручку не меньшую, чем от реализации сельскохозяйственной продукции. По каждому ресурсу (ограничению) введем двойственные оценки (у.д.ед.).

U₁ – оценка по азотным удобрениям;

U₂ – оценка по фосфорным удобрениям;

U₃ – оценка по калийным удобрениям;

U₄ – оценка по земле (пашне).

По условию прямой задачи на 1 га картофеля затрачивается 1 ц. д.в. азотных удобрений, 0,5 ц д.в. фосфорных удобрений и т.д. Следовательно, стоимость ресурсов (по двойственным оценкам), затрачиваемых на 1 га картофеля составит:

1U₁ + 0,5U₂ + 1,25 U₃ + 1U₄.

При этом стоимость ресурсов должна быть не меньше денежной выручки с 1 га картофеля. Таким образом, первое ограничение двойственной задачи имеет вид:

1U₁ + 0,5U₂ + 1,25 U₃ + 1U₄ ≥ 200

Рассуждая аналогичным образом, запишем второе и третье ограничения:

1,25U₁ + 1,2U₂ + 1,5 U₃ + 1U₄ ≥ 250

1U₁ + 1U₂ + 1 U₃ + 1U₄ ≥ 320.

Мы выяснили, что система ограничений двойственной задачи включает 3 ограничения. Мы также знаем, что система ограничений двойственной задачи отражает интересы фермера, т.к. он стремится реализовать ресурсы как можно дороже.

Напротив, целевая функция двойственной задачи выражает интересы покупателя, т.к. он намерен приобрести производственные ресурсы как можно дешевле:

F_min≥ =110U₁ +75U₂ +150U₃ +120U₄

Можно сделать вывод, что экономико-математическая модель двойственной задачи может быть быстро составлена на основе ограничений прямой задачи. При этом, нужно руководствоваться следующими правилами:

а) знаки ограничений прямой задачи противоположны знакам ограничений двойственной задачи. Поэтому, если ограничения прямой задачи имеют разные знаки, то их необходимо привести к одному типу (≤ или ≥);

б) коэффициенты столбцов прямой задачи являются коэффициентами строк двойственной задачи;

в) коэффициенты строк прямой задачи являются коэффициентами столбцов двойственной задачи;

г) коэффициенты целевой функции прямой задачи являются свободными членами двойственной задачи и наоборот;

д) если целевая функция одной из задач максимизируется, то целевая функция другой задачи минимизируется.

Таким образом, исходная симплексная таблица для двойственной задачи имеет вид.

Таблица 69 – Исходная симплексная таблица задачи 12а

БП	СЧ	НБП
U1	U2	U3	U4
С1	-200	-1	-0,5	-1,25	-1
С2	-250	-1,25	-1,2	-1,5	-1
С3	-320	-1	-1	-1	-1
Fmin≥		-110	-75	-150	-120

В результате нескольких переходов получен оптимальный план.

Таблица 70 – Оптимальный план двойственной задачи 12а

БП	СЧ	НБП
U4	С1	U3	С3
U1			-2	1,5
U2				-0,5	-2
С2		0,25	-0,1	-0,225	-1,15
Fmin≥		-10	-70	-22,5	-40

Оптимальный план двойственной задачи показывает, что суммарная оценка ресурсов равна 26800 ден. единиц. Заметим, что значение целевой функции прямой задачи также составляет 26800 денежных единиц.

Сравнивая заключительные симплексные таблицы прямой и двойственной задач, можно выделить несколько закономерностей:

а) коэффициенты столбца СЧ прямой задачи равны по модулю, но противоположны по значению коэффициентам целевой строки двойственной задачи (при решении прямой задачи на максимум). При этом между переменными наблюдаются следующие взаимозависимости:

X_j ≈ C_j

Y_i ≈ U_i

Иными словами, коэффициенты столбца СЧ, расположенные в строках X_j и Y_i (прямая задача) равны по модулю коэффициентам целевой строки, которые находятся в столбцах C_j и U_i (двойственная задача). Например, в нашем случае:

X₁≈ C₁ (70 ≈ -70)

X₃≈ C₃ (40 ≈ -40)

Y₃≈ U₃ (22,5 ≈ -22,5)

Y₄≈ U₄ (70 ≈ -70)

б) коэффициенты целевой строки прямой задачи (при решении её на максимум) равны коэффициентам столбца СЧ двойственной задачи. Взаимозависимости между переменными остаются прежними:

X₂≈ C₂ (138 ≈ 138)

Y₁≈ U₁ (80 ≈ 80)

Y₂≈ U₂ (240 ≈ 240)

в) для остальных коэффициентов (которые не находятся в целевой строке и столбце СЧ) выполняется зависимость: коэффициенты прямой задачи противоположны соответствующим коэффициентам двойственной задачи. Причем, соответствие коэффициентов определяется по известным формулам:

X_j ≈ C_j

Y_i ≈ U_i

Например, в оптимальном плане прямой задачи есть элемент 2, расположенный в строке X₃ и столбце Y₂.В оптимальном плане двойственной задачи имеется элемент -2, который находится в строке U₂ (Y₂ ≈ U₂)и столбце C₃ (X₃ ≈ C₃).

Более подробно проанализируем двойственные оценки. Из оптимального решения двойственной задачи следует, что двойственные оценки по первым двум ресурсам положительны (U₁ =80; U₂ =240). Что касается остальных двойственных оценок, то они равны нулю (переменные U₃ и U₄ являются небазисными). Заметим, что согласно оптимального плана прямой задачи, первый и второй ресурсы используются полностью (Y₁=0; Y₂=0).В свою очередь, наблюдается неполное использование калийных удобрений и земли (Y₃=22,5; Y₄=10).

Таким образом:

г) двойственные оценки равны нулю, если производственные ресурсы, для которых они рассчитаны, недоиспользуются. Если двойственные оценки положительны, то производственные ресурсы, к которым они относятся, используются полностью.

Ресурсы, получившие положительные двойственные оценки, сдерживают производство, т.к. являются дефицитными. Можно сказать, что двойственные оценки выступают мерой дефицитности ресурсов;

д) в некоторых случаях двойственные оценки могут иметь и отрицательные значения. Оптимальное решение прямой задачи показало, что калийные удобрения не являются дефицитными. Так, для выращивания сельскохозяйственных культур необходимо 127,5 ц калия (ресурсы удобрений составляют 150 ц, а остаток – 22,5 ц). Поэтому, двойственная оценка калийных удобрений нулевая.

Сделаем небольшие изменения в исходной задаче. Предположим, что ресурсы калия составляют 130 ц и все калийные удобрения необходимо полностью расходовать (остатка быть не должно). Модифицированная ЭММ (задача 13) имеет вид:

F_max= 200X₁ + 250X₂ + 320X₃

Запишем ограничения в симплексную таблицу.

Таблица 71 – Исходная симплексная таблица задачи 13

БП	СЧ	НБП
X1	X2	X3
Y1			1,25
Y2		0,5	1,2
		1,25	1,5
Y4
Fmax		-200	-250	-320

Мы знаем, что на начальном этапе необходимо избавиться от нулей в столбце БП, т.е. все нули должны быть перемещены в небазисные переменные. Например, поменяем местами 0 и небазисную переменную X₃.В результате расчетов получим новую таблицу.

Таблица 71 – Первая симплексная таблица задачи 13

БП	СЧ	НБП
X1	X2
Y1	-20	-0,25	-0,25	-1
Y2	-55	-0,75	-0,30	-1
X3		1,25	1,5
Y4	-10	-0,25	-0,5	-1
Fmax

После этого 0-столбец не следует исключать из дальнейших расчетов (ранее мы его опускали). Коэффициенты этого столбца преобразуются по известным правилам. Однако, данный столбец уже не может быть взят в качестве разрешающего столбца.

Проведя необходимые расчеты, мы получим оптимальный план.

Таблица 72 – Оптимальный план задачи 13

БП	СЧ	НБП
X2	Y1
Y4		-0,25	-1
Y2		0,45	-3
X3		0,25		-4
X1			-4
Fmax				-480

Все коэффициенты целевой строки положительны (коэффициент 0-столбца во внимание не принимается). Однако коэффициент 0-столбца, расположенный в целевой строке (-480), указывает на то, что двойственная оценка калийных удобрений отрицательна.

Если в экономико-математической задаче имеется уравнение (как в нашем случае), то это уравнение можно записать в виде двух неравенств. Например, ЭММ последней ситуации может быть представлена в виде:

F_max= 200X₁ + 250X₂ + 320X₃

После нескольких итераций получен оптимальный план.

Таблица 73 – Оптимальный план задачи 13 (второй способ решения)

БП	СЧ	НБП
Y1	X2	Y4
Y2		-3	0,45	-2
Y5		-1	-0,25
Y3
X3			0,25
X1		-4		-4
Fmax

На основании решения можно по каждому ограничению (ресурсу) рассчитать двойственные оценки. Поскольку второй ресурс используется частично(Y₂=5), то его оценка U₂ =0. Аналогично: двойственная оценка по пашне (Y₅) также нулевая. Из столбца Y₁ находим, что оценка первого ресурса равна 800 (используем взаимозависимость (Y₁ ≈ U₁). Но, как рассчитать оценку третьего ресурса, т.е. калийных удобрений? Для этого берём ограничения, характеризующие использование калия и определяем соответствующие двойственные оценки по данным неравенствам: U₃ =0; U₄ =480.

Первая из двух оценок соответствует ограничению типа ≤ (1,25X₁+1,5X₂+1X₃≤130). Тогда искомая двойственная оценка ресурса рассчитывается по формуле:

U_калия = U₃ – U₄= 0 – 480 =-480.

Рассмотрим еще один вариант двойственной задачи (задача 14). Пусть запас калийных удобрений составляет 120 ц и все удобрения этого вида должны быть полностью использованы. В этом случае ЭММ ситуации записывается с помощью системы ограничений.

F_max= 200X₁ + 250X₂ + 320X₃

Ниже приведена заключительная таблица, в которой получен оптимальный план прямой задачи.

Таблица 74 – Оптимальный план задачи 14

БП	СЧ	НБП
Y3	X2	Y2
Y1		-0,666	-0,15	-0,333
X3		-0,666		1,666
Y4
X1		1,333	0,40	-1,333
Y5		-0,666	-0,40	-0,333
Fmax		53,33	150,0	266,6

Из таблицы можно определить все двойственные оценки, а именно:

U₁ =0;

U₂ =266,6;

U₃ =53,53;

U₄ =0

U₅ =0.

Рассчитаем оценку калийных удобрений. Для этого применим уже известную формулу:

U_калия = U₃ – U₄= 53,33 – 0 =53,33.

В заключении выполним одно упражнение. Для этого вернемся к исходной задаче 12 и сделаем небольшие изменения. Предположим, что запас фосфорных удобрений составляет 125 ц (вместо 75 ц). Кроме того, имеются дополнительные требования к площади посева отдельных культур. В частности, картофель должен занимать от 30 до 65 га. И последнее: суммарная площадь капусты и моркови составляет 70 га. С учетом этих требований ЭММ прямой задачи будет иметь вид:

F_max= 200X₁ + 250X₂ + 320X₃

Последнее требование (площадь капусты и моркови) нами было записано с помощью двух неравенств.

Чтобы записать ЭММ двойственной задачи необходимо выполнить несложное преобразование, а именно, нужно привести все ограничения прямой задачи к одному типу (например, к типу ” ≤”). Получим:

F_max= 200X₁ + 250X₂ + 320X₃

По каждому из восьми ограничений введем двойственные оценки U₁ – U₂. После этого запишем ограничения двойственной задачи:

F_min= 110U₁ + 125U₂ + 150U₃ +120U₄ - 30U₅ + 65U₆ +70U₇ - 70U₈

И прямая и двойственная задачи были решены. В результате получены значения всех переменных. Однако предположим, что часть решения утеряна и нам известны только отдельные переменные. В частности, X₂ = 0, U₁ = 200, U₈ = 0.Необходимо восстановить значения остальных переменных (X₁, X₃, U₂ – U₇). Известно, что X₂ + X₃ = 70. Следовательно, площадь моркови в оптимальном плане составляет 70 га (X₃ = 70). Мы знаем, что двойственная оценка первого ограничения (азотные удобрения) положительна и поэтому соответствующие удобрения используются полностью. Следовательно, можно записать:

1X₁ + 1,25 X₂ + 1 X₃ = 110 или

1X₁ + 1,25 ∙0 + 1 ∙ 70 = 110.

Отсюда, X₁ = 40.

Теперь можно рассчитать значение целевой функции:

F_max= 200 ∙ 40 + 250 ∙ 0 + 320∙70 = 30400.

Зная значения основных переменных можно определить двойственные оценки по нескольким ограничениям. Подставим значения переменных X₁ - X₃ во второе ограничение: 0,5 ∙ 40 + 1,2 ∙0 + 1 ∙ 70 ≤ 125, т.е. 90 ≤ 125.

Таким образом, фосфорные удобрения не используются полностью, поэтому оценка U₂=0. Аналогично определим, что двойственные оценки U₁ и U₂ также будут нулевыми.

Анализ шестого ограничения X₁ ≤ 65 (40 ≤ 65) показывает, что U₆ = 0. На основании первого ограничения двойственной задачи можно рассчитать оценку U₅. Для этого подставим уже известные значения в это ограничение. Имеем:

1 ∙ 200 + 0,5 ∙ 0 + 1,25 ∙ 0 +1 ∙ 0 - 1U₅ + 1 ∙ 0 ≥ 200

200 - 1∙ U₅ ≥ 200.

Отсюда видно, что переменная U₅ не может принимать положительные значения, т.е. U₅ =0.

Последняя двойственная оценка (U₇ ) может быть определена на основании целевой функции двойственной задачи. При этом нужно помнить, что значения целевых функций двойственной и прямой задач совпадают. Исходя из вышесказанного, можно записать:

F_min= 110∙200 + 125∙0 + 150∙0 +120∙0 - 30∙0 + 65∙0 +70U₇ - 70∙0 = 30400. Отсюда,

U₇ = 120. Задача решена.