Производные базисных функций

S	∂/∂l_i	dV
i=1	i=2	i=3
	∂/∂x ∂/∂ r ∂/∂ r	∂/∂y (1/ r) ∂/∂θ (1/rSinβ) ∂/∂θ	∂/∂z ∂/∂z (1/r) ∂/∂β	dxdydz rdrdθdz r²drdθSinβdβ

ричных элементов. У полностью симметричных элементов оно сократится до двух – вследствие азимутальной симметрии - й компонент исчезнет.

Вторую матрицу в (5.1.5), также умножаемую на вектор-столбец , по аналогии называют матрицей теплопроводности элемента, но ее поверхностной частью (интегрирование ведется по поверхности - ой грани):

, . (5.2.3)

Нижний индекс у матричного произведения базисных функций означает, что базисные функции узлов, не принадлежащих - й поверхности, должны быть заменены нулями согласно их свойству (4.5.1), а объемные (трехмерные) базисные функции принадлежащих грани узлов – преобразованы, т.е. из объемных превращены в двумерные поверхностные базисные функции, так как поверхность описывается уравнением (т.е. нормальна орту ). Очевидно, что и для разных поверхностей выражается по-разному.

Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере. Пусть - й поверхностью является нижняя грань второго элемента каталога и ей присвоен номер 1. Она содержит узлы , и, следовательно, базисные функции остальных узлов . Уравнение плоскости, которой принадлежит первая поверхность: . Это означает, что в базисных функциях узлов этой поверхности текущую переменную нужно заменить на их - e координаты, в силу чего на основании (4.3.3) полином Лагранжа станет равным единице. Для базисной функции на этой грани будем иметь:

, , .

Вторая – верхняя грань – идентична первой, но у нее ,

, поэтому .

Остальные грани не являются в общем случае координатными плоскостями, и поэтому базисные функции их узлов нельзя преобразовать; кроме того, , что усложняет процедуру интегрирования. Число компонент объемной части матрицы теплопроводности (5.2.1) равно трем.

Базисные функции тетраэдра также, очевидно, не преобазуются в общем случае, но процедура интегрирования упрощается переходом к естественной системе координат (см. п. 5.3).

В матричном представлении второй член в решении (5.1.5) имеет вид,

аналогичный (5.2.2):

, (5.2.4)

где - число граней элемента, на которых .

Число компонент поверхностной части матрицы теплопроводности в общем случае равно числу n граней элемента, т.е. n = 4÷6. Для удобства математического представления матрицы (5.1.2) и (5.1.4) объединяют (их ранги одинаковы), что дает:

, (5.2.5)

где – матрица теплопроводности элемента (матрица жесткости в задачах упругости).

Третий член выражения (5.1.5) принято называть матрицей демпфирования в задачах упругости, и матрицей теплоемкости в задачах теплопроводности:

. (5.2.6)

Как видно из (5.2.6), матрица [ ] всегда симметрична; η = c_p ρ = C_v– объемная теплоемкость материала элемента.

Физический смысл этой матрицы в обеих задачах один и тот же, – она демпфирует (уменьшает) изменения определяемой величины( в частности, температуры) и, тем самым, характеризует инерционные свойства материала элемента (следовательно, и объекта в целом).

Остальные члены, именуемые объемной и поверхностной частями вектора тепловой нагрузки (вектор нагрузки в задачах упругости), запишутся так:

; (5.2.7)

; где (5.2.8)

Процедура нахождения поверхностных частей матрицы теплопроводности (5.2.3) и вектора тепловой нагрузки (5.2.8) идентичны. Число компонент поверхностной части вектора тепловой нагрузки равно количеству граней элемента, на которых ≠ 0. В общем случае число компонент равно 4÷6.

Для удобства записи оба вектора объединяют в один вектор тепловой нагрузки:

Собирая все члены, получим определяющую элемент систему (по числу

узлов элемента) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в их матричном представлении:

. (5.2.9)

Переход от частной производной по времени к обыкновенной объясняется тем, что временная производная рассматривается как функция только координат в каждый фиксированный момент времени. Стационарный случай будет описываться системой алгебраических уравнений: