2015-08-21
301
Глобальные матрицы получаются суммированием соответствующих матриц элементов по всем элементам области определения задачи:
; 
; 
, (5.3.1)
где 
– число элементов, геометрически аппроксимирующих изучаемый объект.
Так как область содержит R узлов, то система 
уравнений (5.2.9) превращается в систему R уравнений для R неизвестных значений искомой функции – температуры – в этих узлах:
. (5.3.2)
Очевидно, что при 
, 
. Таким образом, ранг глобальной матрицы, а, следовательно, и объем памяти для ее записи, определяется не числом элементов, а количеством 
узлов. При этом всегда R > E. Поэтому к дискретизации области следует подходить рационально: количество узлов должно обеспечить требуемую точность решения и, в то же время, не слишком завысить объем памяти. При дискретизации разных по размерам частей конструкции одним из средств удовлетворения этим требованиям является, как показано в п. 3.2, использование элементов разной геометрии.
В методе конечных элементов каждый элемент рассматривается независимо от других. Поэтому при записи его матриц естественно оставлять в ней только те члены, которые относятся к данному элементу, а остальные – нулевые – в его матрицы не включать. Благодаря этому размер матриц элемента равен 
или 
, и их называет сокращенными. Такая форма записи существенно экономит объем памяти. Процедуру формирования глобальных матриц рангом легко осуществить, расширив ранг элементных сокращенных матриц до ранга , располагая при этом их члены согласно глобальным номерам узлов элемента (т.н. метод прямой жесткости). При таком способе суммирование Е элементных матриц рангом r, т.е. формирование глобальных матриц, становится тривиальной процедурой (типа известной игры “морской бой “). Сущность метода состоит в следующем.
Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента вместо индексов 
его узлов приписываются зафиксированные в таблице входных данных (см. стр.40) соответствующие им глобальные номера. Номера строк и столбцов сокращенной матрицы элемента указывают теперь " координаты " каждого члена этой матрицы в сетке глобальной матрицы, что и проиллюстрировано ниже.
а) Сокращенная
матрица элемента 
б) Переформированная матрица элемента при ее включении в глобальную 
Остальные места в глобальной матрице займут, очевидно, члены сокращенных матриц других элементов. Так как элементы имеет общие узлы, то члены матриц с "координатами" этих узлов будут алгебраически суммироваться. Использование ме-
тода прямой жесткости значительно сокращает загрузку памяти. В реальной про-грамме сокращенные матрицы элементов после их вычисления могут сразу заноситься в соответствующие глобальные и из памяти удаляться.
