До цих пір ми розглядали коливальні системи, на які діяли відновлюючі сили, які залежать від узагальнених координат , дисипативні сили, які залежать від узагальнених швидкостей і змушувальні сили, що є заданими функціями часу .
Однак існують сили і більш складної природи, які залежать від ,
.
Таким чином, виділити складові, які залежать тільки від координат і тільки від часу неможливо.
Так, наприклад, у випадку найпростішої лінійної системи рівняння руху можна представити у вигляді
(5.1)
де параметр “ ” залежить від часу; воно і описує параметричні коливання. Обмежимося лише нагодою періодичної «модуляції» параметра, тобто .
Відразу відзначимо, що в залежності від параметрів системи амплітуди параметричних коливань залишаються обмеженими або зростають з часом. Це явище називається параметричним резонансом. Параметричний резонанс має місце при виконанні певних співвідношень між частотою зміни параметра і частотою збуджених коливань, близькою або частотою, що збігається з власною частотою системи, а також при виконанні умов, що стосуються глибини модуляцій параметра.
|
|
Наведемо два простих приклади параметричних систем. Для маятника довжиною , масою вантажу і заданим періодичним законом руху точки підвісу (рис. 5.1) диференціальне рівняння відносного руху
Рисунок 5.1– Маятник з точкою підвісу, яка коливається
або
(5.2)
відноситься до типу параметричних (5.1).
Рисунок 5.2 – Контур зі змінною ємністю
Рисунок 5.3 – Кусково-постійна залежність ємності від часу
Рисунок 5.4 – Синусоїдальна залежність ємності
В електричному контурі (рис. 5.2) зі змінною ємністю за рахунок якогось зовнішнього пристрою з періодичним кусочно-постійним (рис. 5.3) або синусоїдальним (рис. 5.4) законом можливі при певних умовах як стійкі так і наростаючі коливання.