Исследование динамики затухающих колебаний

ОТЧЕТ

По лабораторно-практической работе № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ

ДИНАМИКИ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Выполнил Филатов Д.А,

Факультет ОФ

Группа № 1005

Преподаватель

Оценка лабораторно-практического занятия
Выполнение ИДЗ	Подготовка к лабораторной работе	Отчет по лабораторной работе	Коллоквиум		Комплексная оценка

“Выполнено” “____” ___________

Подпись преподавателя __________

РАБОТА 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: исследование динамики затухающего колебательного движения на примере крутильного маятника, определение основных характеристик диссипативной системы.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер.

Применяемый в работе крутильный маятник (рис. 1) представляет собой диск 1, закрепленный на упругой стальной проволоке 2, свободный конец которой зажат в неподвижном кронштейне 3. На кронштейне расположено кольцо 4, масса которого известна. Кольцо 4 можно положить сверху на диск 1, изменив тем самым момент инерции маятника. На диске 1 установлен флажок, располагающийся под подставкой макета в ванночке с жидкостью. Поворачивая флажок, можно изменять момент сил сопротивления, действующих на маятник. Для отсчета значений угла поворота маятника служит градуированная шкала 5, помещенная на ободе диска 1.

Исследуемые закономерности

Крутильный маятник. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, в результате деформации сдвига при закручивании подвеса возникает возвращающий момент упругих сил M = - k j, где k - коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств материала подвеса, его размеров и формы, j - угол поворота. При малых углах поворота, без учета сил трения в подвесе, крутильные колебания маятника являются гармоническими, а уравнение движения тела имеет вид

, где частота собственных колебаний гармонического осциллятора , I – момент инерции диска крутильного маятника. Сопротивление движению маятника (трение) создает тормозящий момент, пропорциональный скорости движения маятника, , где R - коэффициент сопротивления. С учетом сил сопротивления уравнение движения маятника принимает вид

и является уравнением движения осциллятора с затуханием. Колебания такого осциллятора уже не будут гармоническими. Коэффициент b = R /2 I называют коэффициентом затухания. Если , движение крутильного маятника описывается уравнением затухающих колебаний

,

где - начальная амплитуда колебаний маятника, t = 1/b - время затухания, определяющее скорость убывания амплитуды A (t) маятника, численно равное времени, за которое амплитуда убывает в e раз (рис. 2), т.е.

при t = t , w - частота колебаний осциллятора с затуханием, связанная с собственной частотой соотношением . Время затухания t также выражается через момент инерции I и коэффициент сопротивления R выражением .

Крутильный маятник как диссипативная система

Полная энергия колебаний маятника убывает со временем по закону

,

где - начальная энергия колебаний.

Убывание энергии происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло, идет процесс диссипации энергии. Скорость диссипации энергии (мощность потерь)

.

Помимо коэффициента затухания b (или времени затухания t) и мощности потерь P_d колебательная диссипативная система характеризуется также добротностью Q, позволяющей судить о способности системы сохранять энергию. Добротность определяется отношением запасенной системой энергии к потерям энергии за время T /2p = 1/w. Легко видеть, что добротность

,

т.е. численно равна числу колебаний за время t = pt. За это время амплитуда колебаний уменьшается в e ^p @ 23 раза, а энергия колебаний в e ^2p @ 535 раз, иными словами, за это время колебания практически затухают.

В технике для характеристики колебательных систем с затуханием вводят декремент затухания (D), или его логарифм – логарифмический декремент затухания (d = lnD), определяя эти параметры через отношение амплитуд колебаний, соответствующих соседним периодам

или d = b T.

ЗАДАНИЕ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ:

1. Вычислим периоды колебаний маятника с кольцом T_к:

Расчетная формула: Т_к = , где t_к – время, за которое совершались колебания, n =10 – количество колебаний, совершенных маятником.

T_к1= =1,622 (сек)

Т_к2= =1,609 (сек)

Т_к3= =1,609 (сек)

Т_к4= =1,6 (сек)

Т_к5= =1,594(сек)

Определяем погрешности ∆T с доверительной вероятностью p = 95%.

Упорядочим выборку объемом N=5:

T_{к min}=1,594 1,6 1,609 1,609 1,622=T_{к max}

R_Tк = T_{к max} – T_{к min} = 1,622-1,594=0,028 (сек)

Проверка на промахи:

промаха нет

промаха нет.

По результатам проведенных расчетов заключаем, что в нашей выборке промахи отсутствуют. Продолжаем далее статистическую обработку.

Рассчитываем среднее значение по формуле

_к= 1,98(сек)

Рассчитываем СКО среднего по формуле

= 0,009 (сек)

Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

(сек)

Найдем приборную погрешность , где (сек) – цена деления секундомера

=0,005 (сек)

Вычислим полную погрешность

= 0,022 (сек)

Запишем результат статистической обработки с p=95%

T_к=1,98 0,02 (сек) с p=95%

1. Вычислим периоды колебаний маятника без кольца T_д:

Расчетная формула: Т_д = , где t_д – время, за которое совершались колебания, n =10 – количество колебаний, совершенных маятником.

T_д1= =1,469 (сек)

T_д2= =1,465 (сек)

T_д3= =1,465(сек)

T_д4= =1,425(сек)

T_д5= =1,411(сек)

Определяем погрешности ∆T_д с доверительной вероятностью p = 95%.

Упорядочим выборку объемом N=5:

T_{д min}=1,411 1,425 1,465 1,465 1,469=T_{д max}

R_д= T_{д max} – T_{д min} = 1,469-1,411=0,058(сек)

Проверка на промахи:

промаха нет

промаха нет.

По результатам проведенных расчетов заключаем, что в нашей выборке промахи отсутствуют. Продолжаем далее статистическую обработку.

Рассчитываем среднее значение по формуле

= 1,447 (сек)

Рассчитываем СКО среднего по формуле

= 0,012 (сек)

Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

(сек)

Найдем приборную погрешность , где (сек) – цена деления секундомера

=0,005 (сек)

Вычислим полную погрешность

= 0,034(сек)

Запишем результат статистической обработки с p=95%

T_д=1,447 0,03(сек) с p=95%

1. Вычислим частоты колебаний _к и _д для маятника с кольцом и без кольца:

Расчетная формула: = , где Т – период колебаний.

С кольцом:

_к1= =3,147 (сек^-1)

_к2= =3,192 (сек^-1)

_к3= =3,133 (сек^-1)

_к4= =3,196 (сек^-1)

_к5= =3,158(сек^-1)

Определяем погрешности ∆ с доверительной вероятностью p = 95%.

Упорядочим выборку объемом N=5:

_min=3,133 3,147 3,158 3,192 3,196= _max

= _max – _min = 3,196-3,133=0,064 (сек^-1)

Проверка на промахи:

промаха нет

промаха нет.

По результатам проведенных расчетов заключаем, что в нашей выборке промахи отсутствуют. Продолжаем далее статистическую обработку.

Рассчитываем среднее по формуле

= 3,165 (сек^-1)

Рассчитываем СКО среднего по формуле

= 0,0125(сек^-1)

Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

(сек^-1)

Найдем приборную погрешность с ценой деления (сек^-1):

=0,005 (сек^-1)

Вычислим полную погрешность

= 0,04(сек^-1)

Запишем результат статистической обработки с p=95%

=3,17 0,04(сек^-1) с p=95%

Без кольца:

_д1= =4.278 (сек^-1)

_д2= =4.289 (сек^-1)

_д3= =4.289 (сек^-1)

_д4= =4.41 (сек^-1)

_д5= =4.454 (сек^-1)

Определяем погрешности ∆ с доверительной вероятностью p = 95%.

Упорядочим выборку объемом N=5:

_min=4.278 4.289 4.289 4.41 4.454= _max

= _max – _min = 4.454-4.278=0.176 (сек^-1)

Проверка на промахи:

промаха нет

промаха нет.

По результатам проведенных расчетов заключаем, что в нашей выборке промахи отсутствуют. Продолжаем далее статистическую обработку.

Рассчитываем среднее значение по формуле

= 4,344 (сек^-1)

Рассчитываем СКО среднего по формуле

= 0,0366 (сек^-1)

Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, t_p,N =2.8, p=95%.

(сек^-1)

Найдем приборную погрешность с ценой деления (сек^-1):

=0,005 (сек^-1)

Вычислим полную погрешность

= 0,1 (сек^-1)

Запишем результат статистической обработки с p=95%

=4,34 0,1 (сек^-1) с p=95%

1. Найдем времена затухания _к и _д для маятника с кольцом и без кольца:

Формула для расчета: , где t_з – время затухания, за которое амплитуда колебания уменьшается примерно в два раза.

С кольцом:

_з.к.1= =13(сек)

_з.к.2= =12,55 (сек)

_з.к.3= =12,87 (сек)

_з.к.4= =12,64 (сек)

_з.к.5= =12,53 (сек)

Определяем погрешности ∆τ с доверительной вероятностью p = 95%.

Упорядочим выборку объемом N=5:

_min=12,53 12,55 12,64 12,87 13= _max

= _max- _min=0,47(сек)

Проверка на промахи:
промаха нет
промаха нет.

По результатам проведенных расчетов заключаем, что в нашей выборке промахи отсутствуют. Продолжаем далее статистическую обработку.

Рассчитываем среднее по формуле

Рассчитываем СКО среднего по формуле
= 0,088 (сек)

Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, t_p,N =2,8, p=95%.

Учитывая приборную погрешность вычислим полную погрешность

= 0,25 (сек)

Запишем результат статистической обработки с p=95%

=12,73 0,25 (сек) с p=95%

Без кольца:

_з.д.1= =16,45 (сек)

_з.д.2= =16,28(сек)

_з.д.3= =16,28(сек)

_з.д.4= =16,37 (сек)

_з.д.5= =16,28(сек)

Определяем погрешности ∆τ с доверительной вероятностью p = 95%.

Упорядочим выборку объемом N=5:

_min=16,28 16,28 16,28 16,37 16,45= _max

= _max - _min= 0,47(сек)

Проверка на промахи:
промаха нет
промаха нет

По результатам проведенных расчетов заключаем, что в нашей выборке промахи отсутствуют. Продолжаем далее статистическую обработку.

Рассчитываем среднее по формуле

Рассчитываем СКО среднего по формуле
= 0,088 (сек)

Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, t_p,N =2,8, p=95%.

Учитывая приборную погрешность, вычислим полную погрешность

= 0,247 (сек)

Запишем результат статистической обработки с p=95%

=16,31 0,25 (сек) с p=95%

1. Определим собственные частоты колебаний _к0 и _д0 для маятника с кольцом и без кольца.

Расчетная формула: ₀ = , где - коэффициент затухания колебаний маятника.

С кольцом:

_к0.1= =3.148(сек^-1)

_к02= =3.193 (сек^-1)

_к0.3= =3.134(сек^-1)

_к0.4= =3.197(сек^-1)

_к0.5= =3.16(сек^-1)

Определяем погрешности ∆ как косвенные измерения методом переноса погрешностей с доверительной вероятностью p = 95%.

Найдем среднее значение

=3.166 (сек^-1)

Определим полную погрешность ,

где 0,999989,

а =-1.522*10^-4

=0,03 (сек^-1)

Запишем результат статистической обработки:

= 3.17 0,03 (сек^-1) с p=95%

Без кольца:

_д0.1= =4.28(сек^-1)

_д021= =4.291(сек^-1)

_д0.3= =4.291(сек^-1)

_д0.4= =4.42(сек^-1)

_д0.5= =4.455(сек^-1)

Определяем погрешности ∆ как косвенные измерения методом переноса погрешностей с доверительной вероятностью p = 95%.

Найдем среднее значение

= 4.348(сек^-1)

Определим полную погрешность ,

где 0,999996,

а =-7.16638*10^-5

=0,04(сек^-1)

Запишем результат статистической обработки:

= 4,348 0,04 (сек^-1) с p=95%

1. Рассчитаем значение момента инерции кольца по формуле: I_к=1/8*M*(), где - внешний диаметр кольца, M- масса кольца, - внутренний диаметр кольца.

I_к=1/8*1.238*(0,247² +0,585²) = 0.0624(кг*м²)

1. Определим экспериментальное значение момента инерции диска маятника.

Расчетная формула: I_д.

I_д1= =0.07359(кг*м²)

I_д2= =0.07747(кг*м²)

I_д3= =0.07138(кг*м²)

I_д4= =0.06903(кг*м²)

I_д5= =0.06308(кг*м²)

Определяем погрешности ∆I_д с доверительной вероятностью p = 95%.

Найдем среднее значение:

= 0.071 (кг*м²)

Размах выборки составляет: 0,014 (кг*м²)

Найдем СКО среднего по формуле

0,0024 (кг*м²)

Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, t_p,N =2,8, p=95%.
0,0024 *2.8=0,0067(кг*м²)

С учетом приборной погрешности вычислим полную погрешность

= 0,0084 (кг*м²)

Запишем результат статистической обработки:

= (71.0 8.4)*10^-3(кг*м²) с p=95%

1. Найдем значение момента инерции для диска маятника, исходя из его размеров и плотности материала.

Формула для расчета:

I_д = , где - плотность материала, из которого изготовлен диск; h₀ – толщина диска маятника; D₀ – диаметр диска маятника.

I_д= = 16,41 (кг*м²).

1. Сведем все промежуточные вычисления и полученные результаты в таблицу.

N	1	2	3	4	5	результат
С кольцом:
, сек-1	3.147	3.192	3.133	3.196	3.158	3,17 0,04
, сек-1	3.148	3.193	3.134	3.197	3.16	3.17 0,03
T, сек	1.997	1.969	2,006	1.966	1.99	1,98 0,02
, сек	13	12,55	12.87	12.64	12.53	12,73 0,25
Без кольца:
, сек-1	4. 278	4.289	4.289	4.41	4.454	4.44 0,04
, сек-1	4.393	4.478	4.427	4.459	4.438	4,348 0,04
T, сек	1.469	1.465	1.465	1.425	1.411	1,447 0,03
, сек	16,45	16,28	16,28	16,37	16,28	16,31 0,25
Iд*10-3, кг*м2	73,59	77,47	71,38	69,03	69,08	(71 8.4)*10-3

ВЫВОД:

Выполнив данную лабораторную работу, мы провели исследование динамики колебательного движения крутильного маятника. Во время этого исследования экспериментальным путем был получен ряд данных, на основании которых мы рассчитали период колебаний маятника без кольца и с кольцом, время затухания маятника, собственную частоту его колебаний, а также экспериментальный момент инерции диска маятника.